Segunda lei de Kepler: Lei das áreas

A partir da conservação do momentum angular (3),

\vec{h} = \vec{r}$ x \vec{v}$,

e escrevendo em coordenadas polares, \vec{v} = d$ \vec{r}\,$/dt = r d$ \Phi$/dt $ \hat{e}_{\Phi}^{}$+dr/dt êr, onde $ \hat{e}_{\Phi}^{}$ é o vetor unitário na direção de \vec{\Phi} e $ \hat{e}_{r}^{}$ o vetor unitário na direção de \vec{r}, temos
$\vert\vec r \times \vec v \vert= h = r \cdot r \frac{d\Phi}{dt} \cdot {\rm sen} (\hat e_r,\hat e_\Phi)$

Como $ \hat{e}_{r}^{}$ e \hat{e}_{\Phi} são perpendiculares entre si, segue que

$h = r^2 \dot \Phi = {constante}$

Sejam P1 e P2 duas posições sucessivas do corpo num intervalo \deltat.

phi
O elemento de área nesse intervalo de tempo é:
\deltaA = r \cdot r\delta \Phi \over 2,

ou
\delta A \over \delta t = r^2 \over 2\delta \Phi\over \delta t.

Para \deltat\to 0,
dA \over dt = r^2 \dot \Phi \over 2 = h \over 2                          (5)

Como a conservação do momentum angular (3) prova que h é uma constante, dA/dt é uma constante, que é a lei das áreas. A lei das áreas de Kepler é portanto um consequência direta da lei de conservação do momentum angular.


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Modificada em 18 Out 1999