Segunda lei de Kepler: Lei das áreas

A partir da conservação do momentum angular (3),

= x ,

e escrevendo em coordenadas polares, = d$\vec{r}\,$/dt = r d$\Phi$/dt $\hat{e}_{\Phi}^{}$+dr/dt ê_r, onde $\hat{e}_{\Phi}^{}$ é o vetor unitário na direção de e $\hat{e}_{r}^{}$ o vetor unitário na direção de , temos

$\vert\vec r \times \vec v \vert= h = r \cdot r \frac{d\Phi}{dt} \cdot {\rm sen} (\hat e_r,\hat e_\Phi)$

Como $\hat{e}_{r}^{}$ e são perpendiculares entre si por construção, segue que

$h = r^2 \dot \Phi = {constante}$

Sejam P₁ e P₂ duas posições sucessivas do corpo num intervalo δt.

O elemento de área nesse intervalo de tempo é:

A = ,

ou

= .

Para δt 0,

= =                          (5)

Como a conservação do momentum angular (3) prova que h, é uma constante, dA/dt é uma constante, que é a lei das áreas. A lei das áreas de Kepler é portanto um consequência direta da lei de conservação do momentum angular.

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