Terceira lei de Kepler: Lei harmônica

Duas relações das elipses são (ver Área de uma elipse):

A = πab,

onde A é a área, a o semi-eixo maior e b o semieixo menor, e

b = a

1 - e² $)^{1\2}$ .

Da lei das áreas, (5), temos:

dA = ${h\2}$ dt.

Integrando-se sobre um período, P,

$\pi$ ab = $h\2}$ P (6)

Substituindo-se b acima, e a definição do semi-lactus rectum,

b = a (1 - e²)^1/2 = (pa)^1/2 = $(\vphantom{{ah^2 \over \mu}}.$ $\displaystyle {ah^2 \over \mu}$ $.\vphantom{{ah^2 \over \mu}})^{1\over 2}_{}$ .

Elevando-se (6) ao quadrado:

$\pi^2a^2\frac{a}{\mu}h^2=\frac{h^2}{4} P^2$

P² = ${4\pi^2a^3\over \mu}$ .

Esta é a terceira lei de Kepler, generalizada por Newton,

${P^2 = \frac{4\pi^2}{G(m+M)}a^3}$ (7)

Desta forma fica demonstrado que as tres leis de Kepler podem ser deduzidas das leis de Newton.

A "constante" de Kepler depende portanto da soma das massas dos corpos. No caso dos planetas do sistema solar, que orbitam o Sol, esta soma é praticamente igual à massa do Sol e, portanto, aproximadamente constante. Na secção (Newton) vimos como a 3^a lei de Kepler na forma derivada por Newton é usada para determinar massas de corpos astronômicos.

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