Multiplicando-se vetorialmente a equação (1) por 
:
já levando-se em conta que:
A parte da direita de (4) pode ser escrita como:
Como
então:
Como
então:
O lado esquerdo da equação (4) pode ser escrito como:
já que:
e como é constante, 
.
A equação (4) pode portanto ser escrita como:
ou seja, integrando-se sobre t:
onde 
é um vetor constante.
Como 
é
perpendicular ao plano da órbita, 
está
no plano da órbita, junto com
, de modo que
também.
Na verdade, está na direção do pericentro, como veremos
a seguir.
Até agora encontramos 2 vetores constantes,
e , e
um escalar constante,
E, de modo que já temos 7 integrais.
Entretanto, elas não são todas independentes. Por exemplo, como
está no plano da órbita, e em um plano
perpendicular a este, 
Multiplicando-se escalarmente por 
, temos:
Como
onde 
é o ângulo entre e ,
e 
, temos:
ou
e finalmente:
que é a equação da trajetória.
Esta é a equação de uma cônica com foco na origem.
Somente para 
o movimento é finito, e
a órbita é uma elipse.
Note que r é mínimo
quando 
, isto é, na direção de
,
provando que
aponta na direção do pericentro.
Lembrando que 
, e comparando com a equação
da elipse (veja o apêndice),
vemos que a equação da trajetória descreve uma
elipse com:
e
p é chamado de semi-lactus rectum, e é a excentricidade
da elipse, e 
é o ângulo entre o ponto da elipse
mais próximo do foco (pericentro) e o vetor posição .
Da equação que introduziu temos:
Como 
,
de modo que:
Mas
e como ,
Como 
ou seja:
Desta forma fica provado que a excentricidade depende da energia do sistema.
Esta é a demonstração de que a órbita, quando fechada, é elíptica, como diz a primeira lei de Kepler.
Se 
, o movimento é infinito, isto é, não
se repete. Se e=1 o corpo se move em uma parábola,
e se e > 1 em uma hipérbole, o que não é o caso
dos planetas, mas as vezes dos cometas e asteróides.
Introdução à Astronomia e à
Astrofísica
