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Teorema da Convolução

A transformada de Fourier de duas funções convoluídas no domínio do espaço é igual ao produto das transformadas das duas funções no domínio de Fourier:

$${\cal{F}}[f(x,y)*h(x,y)] = F(w_x,w_y)H(w_x,w_y),$$

onde o operador $*$ denota a operação de convolução. Este teorema é de grande importância no processamento de imagens.

Consideremos o caso de uma imagem resultante $g(x,y)$ de um sinal $f(x,y)$ convoluído com uma função de espalhamento $h(x,y)$:

$$g(x,y)=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(\alpha,\beta)h(x-\alpha,y-\beta) d\alpha\,d\beta.$$

A transformada de Fourier desta convolução pode ser obtida revertendo-se a ordem da integração:

$${\cal{F}}[g(x,y)] \equiv G\left(w_x,w_y\right) = \int_{-\infty}^\... ...ta) e^{\left[-i\left(xw_x+yw_y\right)\right]}dxdy\right\rbrace d\alpha\,d\beta.$$

Utilizando a propriedade de translação:

$${\cal{F}}\left[h(x-\alpha,y-\beta\right] = H\left(w_x,w_y\right) e^{-i\left(\alpha w_x + \beta w_y\right)},$$

obtemos:

$$G\left(w_x,w_y\right) = \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(\alpha,\beta) e^{-i\left(\alpha w_x + \beta w_y\right)} d\alpha\,d\beta H\left(w_x,w_y\right)$$ (4.14)

$$= F\left(w_x,w_y\right)H\left(w_x,w_y\right)$$ (4.15)

Desta maneira utilizamos a propriedade de translação para demonstrar o teorema da convolução. Como em geral a operação de convolução é mais complexa de calcular do que a transformada de Fourier, usa-se este teorema para calcular a convolução calculando-se a transformada das funções, sua multiplicação, e a transformada inversa.

O teorema inverso afirma que:

$${\cal{F}}\left[f(x,y)h(x,y)\right] = \frac{1}{4\pi^2}\left[F(w_x,w_y)*H(w_x,w_y)\right].$$

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