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Transformada de Derivadas

A transformada de uma derivada da função é dada por:

$${\cal{F}}\left[\frac{df(x)}{dx}\right]=i\nu F(\nu),$$

já que, pela definição da transformada inversa:

$${\cal{F}}^{-1}\left[F(\nu)\right]=f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} F(\nu)e^{i\nu x}\,d\nu,$$

de modo que:

$$\frac{d}{dx}f(x) = \frac{1}{2\pi} \frac{d}{dx} \left[\int_{-\infty}^{\infty} F(\nu)e^{i\nu x}\,d\nu\right]$$

$$= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\nu) \frac{\partial}{\partial x}\left[e^{i\nu x}\right]\,d\nu$$

$$= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} i\nu F(\nu) e^{i\nu x}\,d\nu$$

que é a transformada inversa de $i\nu F(\nu)$.

Em duas dimensões:

$${\cal{F}}\left[\frac{\partial f(x,y)}{\partial x} +\frac{\partial... ...,y)}{\partial y} \right]= i\left(\nu_x + \nu_y\right)F\left(\nu_x,\nu_y\right),$$

e a transformada da derivada segunda de uma função, ou Laplaciano, é dada por:

$${\cal{F}}\left[\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} +\frac{\par... ...partial y^2} \right]= -\left(\nu_x^2 + \nu_y^2\right)F\left(\nu_x,\nu_y\right).$$

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