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Amostragem

Vamos chamar de $ f_I(x,y)$ uma imagem ideal. Para medí-la, multiplicamos esta imagem no domínio espacial por uma função de amostragem, consistindo de uma série de funções delta, como uma ''cama de pregos'':

$\displaystyle a(x,y)=\sum_{j_1=-\infty}^\infty \sum_{j_2=-\infty}^\infty
\delta(x-j_1\Delta x,y-j_2 \Delta y),$

onde $ \Delta x$ e $ \Delta y$ representam os espaçamentos, e $ \delta$ a função delta de Dirac. A função depois de amostrada é dada por:

$\displaystyle f_a(x,y)=f_I(x,y)a(x,y)=
\sum_{j_1=-\infty}^\infty \sum_{j_2=-\infty}^\infty
f_I(j_1\Delta x,j_2 \Delta y)\delta(x-j_1\Delta x,y-j_2 \Delta y).$

A transformada de Fourier da função amostrada é dada por:

$\displaystyle F_a\left(w_x,w_y\right)=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty
f_a(x,y)\exp\left[-i\left(w_xx+w_yy\right)\right]dx\,dy.$

De acordo com o Teorema da Convolução, a transformada de Fourier pode ser expressa como a convolução da transformada de duas funções, $ F_I\left(w_x,w_y\right)$, e da função de amostra $ A\left(w_x,w_y\right)$:

$\displaystyle F_A\left(w_x,w_y\right)=\frac{1}{4\pi^2}F_I\left(w_x,w_y\right) * A\left(w_x,w_y\right).$

Como a transformada de Fourier de uma série infinita de funções delta é uma série infinita de funções delta no domínio de frequências:

$\displaystyle A\left(w_x,w_y\right)=\frac{4\pi^2}{\Delta x \Delta y}
\sum_{j_1=...
...nfty \sum_{j_2=-\infty}^\infty
\delta\left(w_x-j_1w_{xa},w_y-j_2 w_{ya}\right),$

onde $ w_{xa}=2\pi/\Delta x$ e $ w_{ya}=2\pi/\Delta y$ representam a frequência de amostragem no espaço de Fourier. Como a convolução de uma função com a função delta é a própria função, podemos reescrever:

$\displaystyle F_A\left(w_x,w_y\right)=\frac{1}{\Delta x \Delta y}
\sum_{j_1=-\i...
...}^\infty \sum_{j_2=-\infty}^\infty
F_I\left(w_x-j_1w_{xa},w_y-j_2w_{ya}\right).$

Esta equação representa a réplica da transformada $ F_I$ da função original $ f_I$ no espaço de Fourier, com separações $ 2\pi/\Delta x$ e $ 2\pi/\Delta y$.

\epsfig{file=delta.epsf,width=10cm,clip=}


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Modificada em 21 set 1998