Níveis do hidrogênio

Classificação Espectral

Classes de Luminosidade

Lei de Boltzmann

Espectroscopia

Uma carga em repouso gera um campo elétrico em sua volta. Se esta carga estiver em movimento, o campo elétrico, em uma posição qualquer, estará variando no tempo e gerará um campo magnético que também varia com o tempo. Estes campos, em conjunto, constituem uma onda eletromagnética, que se propaga mesmo no vácuo. James Clerk Maxwell (1831-1879) demonstrou que a luz é uma onda eletromagnética.

À intensidade da luz em diferentes comprimentos de onda, chamamos de espectro. Quase toda informação sobre as propriedades físicas das estrelas são obtidas direta ou indiretamente de seus espectros, principalmente suas temperaturas, densidades e composições.

Histórico

Isaac Newton demonstrou em 1665-66 que a luz branca, como a luz do Sol, ao passar por um prisma se decompõe em luz de diferentes cores, formando um espectro como o arco-íris.

Em 1802, William Hyde Wollaston (1766-1828) observou que, passando a luz solar por uma fenda e depois por um prisma, apareciam algumas linhas escuras no espectro, que ele interpretou como o limite das cores. Estas linhas são imagens da fenda do espectrógrafo em diferentes comprimentos de onda. Até 1820, o fabricante de intrumentos de vidro (lentes, prismas, microscópios e telescópios) alemão Joseph von Fraunhofer (Frauenhofer) (1787-1826), de Munique, já havia contado 574 linhas escuras no espectro solar, chamadas depois de linhas de Fraunhofer. Para 324 destas linhas, Fraunhofer deu o nome de letras maiúsculas: A, B, C ... para as linhas mais fortes e minúsculas para as mais fracas, começando com A no vermelho.

Fraunhofer também observou linhas nos espectros das estrelas Sírius, Castor, Pollux, Capella, Betelgeuse e Procyon. Na verdade Fraunhofer utilizava as linhas do espectro solar para calibrar seus instrumentos (vidros e prismas), que eram os de melhor qualidade fabricados naquela época. Como pequenas variações na quantidade e mistura de quartzo (SiO₂), cal (CaO) e soda (carbonato de sódio, Na₂CO₃) que compõem o vidro (basicamente SiO₄) fazem que os prismas fabricados desloquem o comprimento de onda em diferentes ângulos, Fraunhofer usava as linhas do espectro solar para determinar as propriedades dos vidros. Apresentando seus resultados na Academia de Ciências da Bavária, foi eleito membro e ministrou aulas na Universidade da Bavária por muitos anos, apesar de não possuir educação formal.

Como veremos a seguir, 40 anos depois as linhas foram identificadas como sendo:

Linha	$\lambda$ (Å)	Elemento
A	7594	oxigênio
B	6867	oxigênio
C	6563	hidrogênio, H$\alpha$
D1	5896	sódio
D2	5890	sódio
D3	5876	hélio
E	5270	ferro e cálcio
b1	5184	magnésio
F	4861	hidrogênio, H$\beta$
G	4308	ferro (e cálcio)
H	3968	cálcio
K	3934	cálcio

Variação do espectro contínuo com a temperatura

Espectros das estrelas por classe espectral, graficados com uma lei de Planck de temperatura indicada, de 3000 Å a 18 000 Å.

A curva de distribuição de energia de um espectro contínuo tem forma similar à de um corpo negro, ou seja, segue aproximadamente a lei de Planck. Portanto, quanto maior a temperatura, maior a intensidade da radiação e menor o comprimento de onda em que ocorre e pico da intensidade. Como vimos, a relação entre o comprimento de onda em que ocorre o pico da intensidade ($\lambda$_max), é dada pela lei de Wien:

Como 1 Å=10^-10 m,

ou

Bunsen & Kirchhoff

Em 1856, o químico alemão Robert Wilhelm Bunsen (1811-1899) inventou o bico de gás (bico de Bunsen), cuja vantagem era a de ter chama incolor. Quando um elemento químico era colocado sobre a chama, as cores emitidas eram as da substância, e não da chama. Bunsen tinha um colaborador mais jovem, o físico Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887), de Heidelberg. Kirchhoff já havia formulado as leis que governam as voltagens e correntes em circuitos elétricos, que levam seu nome, em 1845. Em 1856, Kirchhoff sugeriu que as cores seriam melhor distingüidas se passadas através de um prisma. Eles colocaram um prisma na frente de um conjunto de lentes e passaram a identificar as linhas com os elementos químicos. Os gases quentes observados por Kirchhoff e Bunsen não emitiam um espectro contínuo. Eles descobriram que cada elemento gerava uma série de linhas diferentes. Por exemplo, o neônio tinha linhas no vermelho (por isto um cartaz de neon é vermelho), o sódio tinhas linhas no amarelo e o mercúrio tinha linhas no amarelo e no verde.

Estas linhas eram todas brilhantes, enquanto as linhas de Fraunhofer eram escuras. Kirchhoff queria confirmar que as linhas escuras D descobertas por Fraunhofer eram linhas de sódio. Para isto ele passou a luz do Sol através de uma chama de sódio, esperando que as linhas do sódio preenchessem as linhas escuras do Sol. Para sua surpresa, as linhas D ficavam mais fortes, mais escuras. Ele então substituiu o Sol por um sólido quente. A luz do sólido que passava pela chama apresentava as mesmas linhas escuras do Sol, na posição das linhas do sódio. Ele então concluiu que o Sol era um gás ou sólido quente, envolto por um gás mais frio. Estas camadas mais frias é que produziam as linhas escuras do Sol. Comparando o espectro, ele descobriu linhas de Mg, Ca, Cr, Co, Zi, Ba e Ni no Sol.

De suas experiências, Kirchhoff formulou as três leis empíricas da espectroscopia, para determinar a composição de uma mistura de elementos.

Leis de Kirchhoff

1) Um corpo opaco quente, sólido, líquido ou gasoso, emite um espectro contínuo.

2) Um gás transparente produz um espectro de linhas brilhantes (de emissão). O número e a posição destas linhas depende dos elementos químicos presentes no gás.

3) Se um espectro contínuo passar por um gás à temperatura mais baixa, o gás frio causa a presença de linhas escuras (absorção). O número e a posição destas linhas depende dos elementos químicos presentes no gás.

Simulação das Linhas

Embora um átomo isolado só emita em determinados comprimentos de onda, muitos átomos comprimidos juntos num material emitem radiação em uma banda de linhas, já que têm velocidades diferentes e os comprimentos de onda se deslocam pelo efeito Doppler.

É importante notar que as linhas escuras não significam ausência de luz, somente o contraste de menos luz. O gás mais frio absorve mais radiação que emite e, portanto, gera linhas escuras. Se estiver em equilíbrio, isto é, nem aquecendo nem esfriando, um gás absorve a radiação vinda em sua direção e a re-emite em todas as direções, causando um decréscimo de fluxo na direção da fonte. Se não estiver em equilíbrio, o gás aquece.

A observação dos espectros estelares tomou impulso em 1860 com Giovanni Battista Donati (1826-1873) em Florença, e logo depois com Lewis M. Rutherfund (1816-1892) em Nova Iorque, George Biddel Airy (1801-1891) em Greenwich, William Huggins (1824-1910) em Londres, e Angelo Secchi (1818-1878), em Roma.

Em 1862, o astrônomo sueco Anders Jonas Ångström (1814-1874), aumentando a precisão de medida do comprimento de onda, identificou as linhas de hidrogênio no Sol. A identificação do elemento hidrogênio já havia sido feita em 1766 pelo físico e químico inglês Henry Cavendish (1731-1810).

Em 1868, o astrônomo inglês Sir Joseph Norman Lockyer (1836-1920) descobriu uma linha inexplicada no espectro do Sol, que ele identificou com um novo elemento químico, hélio, do grego helios, Sol. Lockyer mais tarde fundou a revista Nature, e foi seu editor por 50 anos. Independentemente, o astrônomo francês Pierre-Jules-César Jansse (1824-1907) também identificou esta linha, no mesmo ano. Somente 27 anos mais tarde o elemento hélio foi descoberto na Terra, pelo químico inglês Sir William Ramsay (1852-1916) quando o espectro de um minério de urânio contendo hélio produziu uma linha na posição exata daquela encontrada por Lockyer no espectro do Sol. Hoje em dia sabemos que o hélio é o segundo elemento mais abundante no Universo. O primeiro é o hidrogênio.

A Origem das Linhas Espectrais: átomos e luz

No início do século XX, os cientistas começaram a estabelecer as bases para a compreensão da formação dos espectros à medida que eles começaram a aprender mais sobre a estrutura dos átomos e a natureza da luz.

Os experimentos de Ernest Rutherford (1871-1937) em 1909, auxiliado por Hans Geiger (1882-1945) e Ernest Marsden (1889-1970), bombardeando folhas de ouro com partículas alfa (íons de hélio), resultando que 1 em cada 20 000 partículas incidentes eram refletidas na mesma direção de incidência, demonstraram que os átomos são compostos de um pequeno núcleo, com carga elétrica positiva, rodeado por uma nuvem de elétrons, com carga elétrica negativa. Esses elétrons não poderiam estar parados, pois eles cairiam em direção ao núcleo devido à atração coulombiana, então Rutherford propôs que os elétrons estariam girando em torno do núcleo em órbitas circulares. No entanto, isso não resolvia o problema da estabilidade do núcleo, pois cargas elétricas aceleradas emitem energia, e a perda de energia faria os elétrons espiralarem rapidamente em direção ao núcleo, emitindo radiação em todos os comprimentos de onda e tornando os átomos instáveis. Esse modelo atômico não era satisfatório, pois os átomos obviamente são estáveis, além do mais era conhecido, através dos estudos dos espectros de emissão, que quando os átomos emitem radiação, eles o fazem somente em certos comprimentos de onda, específicos de cada elemento, e não em todos os comprimentos de onda.

Isso gerou a suspeita de que as leis da mecânica clássica não se aplicavam totalmente a corpos microscópicos como os átomos e propiciou o surgimento da mecânica quântica.

Em 1900, o cientista alemão Max Planck (1858-1947) desenvolveu o modelo da quantização da luz, segundo o qual a matéria emite luz em pacotes de energia, que ele denominou quanta.

A figura mostra um átomo constituído de um núcleo e um elétron (bolinha azul) em meio a várias partículas (bolinhas amarelas). Uma partícula colide com o átomo (1) que se excita, fazendo com que seu elétron pule para um nível de maior energia (2). Em seguida o elétron volta para seu nível de energia original, liberando a energia extra na forma de um fóton de luz (3).

Albert Einstein, em 1905, estudando o efeito fotoelétrico, usou a idéia da quantização e assumiu que cada quantum de luz, ou fóton, tem uma energia E dada por:
 
onde h é a constante de Planck,
e c é a velocidade da luz, 300 000 km/s.

Quantização

Louis de Broglie, Niels Bohr, Werner Heisenberg & Erwin Schrödinger

Louis Victor, Príncipe de Broglie (1892-1987), em sua tese de doutorado em 1924, mostrou que o momentum de cada fóton, ou qualquer partícula, é dado por:
 

de Broglie também propôs que os elétrons de um átomo só podem ocupar níveis quantizados, o que mais tarde foi melhor entendido com a formulação da mecânica quântica por Erwin Schrödinger (1887-1961).

Níveis de Energia do Hidrogênio

de Broglie assumiu, seguindo Niels Henrik David Bohr (1855-1962), que os órbitas são quantizadas, isto é, que a órbita do elétron deveria conter um número inteiro de comprimentos de onda:
 
onde n=1,2,3,... só assume números inteiros. Estando nessas órbitas, os elétrons não emitem radiação.

Pela lei de Coulomb [Charles Coulomb (1736-1806)], a força elétrica entre o próton nuclear e o elétron é dada por:

$F_C = \frac{Ke^2}{r^2}.$

No sistema cgs, a constante K=1 e a carga do elétron é $e=4,8 \times 10^{-10}$ unidades eletrostáticas. No sistema MKS, $K=9\times 10^9~{N\,m^2\,C^{-2}}$, e a carga do elétron é $e=1,6 \times 10^{-19}~{C}$. A força centrípeta sobre o elétron é dada por:

$F_c = \frac{m_e v^2}{r},$

e é gerada pela força de Coulomb e, portanto:

$F_c = F_C \rightarrow \frac{Ke^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \rightarrow v = (\frac{Ke^2}{m_er})^{1/2}$

ou seja:

$$p_e = m_e v = (\frac{m_e Ke^2}{r})^{1/2}$$ (1.4)

Pela equação de de Broglie, o momentum de cada elétron é dado por:

$$p_e=\frac{h}{\lambda_e} \longrightarrow \lambda_e = \frac{h}{p_e}$$ (1.5)

Mas como a órbita só pode conter um número inteiro de comprimentos de onda, substituindo (1.4) na (1.5) e na (1.3), temos:

$2\pi r = n\lambda_e = \frac{nh}{p_e} = nh(\frac{r}{m_e Ke^2})^{1/2}$

obtemos que o raio da órbita é dado por:

$r = n(\frac{h}{2\pi})\left(\frac{r}{m_e Ke^2}\right)^{1/2}$

Elevando-se ao quadrado,

$r^2 = \frac{n^2\hbar^2r}{m_e Ke^2}$

onde:

$\hbar = \frac{h}{2\pi}$

Dividindo por $r$, chegamos ao raio de Bohr:

$r = \frac{n^2\hbar^2}{m_e Ke^2}$

Como a energia total é dada por:

$E = \frac{1}{2}m_ev^2 - \frac{Ke^2}{r} = - \frac{Ke^2}{2r} = -\frac{Ke^2 m_e Ke^2}{2n^2\hbar^2}$

$${E = -\frac{ m_e K^2e^4}{2n^2\hbar^2} = -\frac{2,18 \times 10^{-11}\,{\rm ergs}}{n^2} = -\frac{13,6 \,{\rm eV}}{n^2}}$$ (1.6)

Um elétron-volt (eV) é a energia adquirida por um elétron ao ser acelerado através de uma diferença de potencial de 1 Volt.

1 eV = 1,602 × 10^-19 J

1 eV = 1,602 × 10^-12 ergs

Dessa maneira, deduz-se que os níveis de energia do hidrogênio são quantizados, já que n=1,2,3,... só assume números inteiros, isso é, assumindo-se que as órbitas só podem conter um número inteiro de comprimentos de onda, obtém-se que os níveis de energia são quantizados. Note que essa teoria simplista só dá resultados corretos para o hidrogênio. Para outros átomos, é preciso usar a mecânica quântica completa.

Por conservação de energia, quando um átomo passa de um nível de energia maior, $n_1$ para outro de energia menor, $n_2$, há emissão de um fóton com energia:

${E_{f\acute{o}ton} = E(n_1) - E(n_2)}$

e

$$E_{f\acute{o}ton} = h\nu = \frac{hc}{\lambda}$$ (1.7)

de modo que para satisfazer a quantização dos estados, um átomo de hidrogênio só pode emitir fótons com energia:

$$h\nu = E(n_1) - E(n_2) = {13,6\, ev} (\frac{1}{n_1^2} - \frac{1}{n_2^2})$$ (1.8)

ou, em termos de comprimento de onda:

Esta equação já tinha sido derivada experimentalmente (empiricamente) para n₁=2 por Johann Jakob Balmer (1825-1898) em 1885 e, por isso, as linhas , que estão na parte visível do espectro, são chamadas de linhas de Balmer. A série é chamada de série de Lyman [Theodore Lyman (1874-1954)], e está no ultravioleta.

Portanto um átomo de hidrogênio só pode emitir fótons com certas energias para que seus elétrons passem de um nível n₁ para um nível n₂, assim como só podem absorver fótons destas energias para o processo inverso. Desta maneira, a detecção de uma linha espectral com este comprimento de onda, em emissão ou absorção, constitui evidência da presença do hidrogênio.

Além das linhas discretas, um átomo de hidrogênio também é capaz de espalhar radiação e fazer a transição de um nível n para o contínuo, e vice-versa (ionização e recombinação), se o fóton tiver comprimento de onda menor que 912Å.

Para átomos com mais de um elétron, é preciso ainda levar em conta o princípio da exclusão de Pauli [Wolfgang Pauli (1900-1958)], pois os elétrons são férmions e não podem ocupar o mesmo estado quântico, com o mesmo spin.

As principais linhas do hidrogênio são:

Ly $\alpha$	1216 Å
Ly $\beta$	1026 Å
Ly $\gamma$	973 Å
Ly $\infty$	912 Å
H $\alpha$	6563 Å
H$\beta$	4861 Å
H$\gamma$	4342 Å
H$\delta$	4102 Å
H$\infty$	3646 Å

Comprimentos de onda de Balmer no vácuo e no ar em condições normais de temperatura e pressão.

Transição	H vácuo	H ar
Nome	(Å)	(Å)
H$\alpha$ (n = 3 --> n = 2)	6564.70	6562.89
H$\beta$ (n = 4 --> n = 2)	4862.74	4861.38
H$\gamma$ (n = 5 --> n = 2)	4341.73	4340.51
H$\delta$ (n = 6 --> n = 2)	4102.94	4101.78
H7	3971.195
H8	3890.151
H9	3836.472
H10	3798.976
H11	3771.701
H12	3751.217
H13	3735.430
H14	3722.997
H15	3713.027
H16	3704.906

As principais linhas do HeI são:

3188 Å	3889 Å	3965 Å	4471 Å	4713 Å
4922 Å	5016 Å	5048 Å	5876 Å	6678 Å

As linhas do HeII no ótico são 4686 Å, e as da série de Pickering [Edward Charles Pickering (1846-1919)] que coincidem em baixa resolução com as do hidrogênio: 6560 Å, 4859 Å e 4541 Å.

Duas linhas típicas do CI (carbono neutro) são 4771 Å e 5041 Å. Do CII (carbono uma vez ionizado), 4267 Å. Do CIII (carbono duas vezes ionizado), 4647 Å. Do OI (oxigênio neutro), 4368 Å.

Existem regras de seleção que predizem quais são as transições mais esperadas entre dois níveis de energia. As transições permitidas representam as transições que conservam o momento angular total do sistema.

Outras transições são matematicamente possíveis, mas são consideradas proibidas porque, nas condições terrestres, antes que um átomo possa irradiar por uma transição proibida, uma colisão com outro átomo ou molécula irá ocorrer e des-excitar o átomo colisionalmente. Como no meio interestelar os átomos estão muito mais distantes entre si do que na Terra, as colisões são muito raras e, portanto, as transições proibidas são importantes em nuvens de gás e no meio interestelar. Essas linhas foram explicadas, em 1927, pelo astrofísico e professor de física no Caltech, Ira Sprague Bowen (1898-1973).

Se os átomos emitem em linhas espectrais, de onde vem o espectro contínuo? Quando átomos interagem com outros, as linhas espectrais são alargadas, já que os átomos têm velocidades diferentes e os comprimentos de onda se deslocam pelo efeito Doppler. Quando um agregado de átomos interage fortemente, como em um sólido, líquido, ou gás opaco, todas as linhas são tão alargadas, que produzem um contínuo térmico.

Classificação Espectral

Embora Fraunhofer, em 1823, tivesse observado que as estrelas tinham espectros de linhas escuras como o Sol, investigações mais completas dos espectros das estrelas foram feitas por Sir William Huggins (1824-1910) e pelo jesuíta Irmão Angelo Secchi (1818-1878) do observatório do Vaticano, que notaram que os espectros estelares não eram todos iguais; só alguns se pareciam com o do Sol. Em 1864 Sir William Huggins obteve o primeiro espectro de uma nebulosa e, depois de observar mais 70 até 1868, concluiu que as nebulosas apresentavam linhas brilhantes (de emissão), uma do hidrogênio e outras duas que só foram identificados em 1927 como as linhas proibidas do O II, O III, e N II. Em 1863, Secchi fez a primeira classificação dos espectros das estrelas, de acordo com as linhas escuras.

Note-se que até esta época a fotografia ainda não era possível, por isso os espectros eram obtidos visualmente. Embora a técnica fotográfica tenha sido lançada em 1839, pela parceria Joseph-Nicéphore Niépce (1765-1833) e Louis-Jacques-Mandé Daguerre (1787-1851), já em 1842, o francês Edmond Becquerel (1820-1891), e poucos meses depois o inglês John William Draper (1811-1882), fotografaram o espectro do Sol. Somente em 1872 Henry Draper (1837-1882), filho de John William Draper, obteve a primeira foto de um espectro estelar, da estrela Vega. A classificação espectral usada atualmente foi desenvolvida no observatório de Harvard, nos Estados Unidos, no início do século XX.

Edward Charles Pickering (1846-1919), diretor do observatório do colégio de Harvard, reconheceu que eram necessários muitos espectros para desenvolver uma classificação e começou a coletar espectros em fotografias. A classificação dos espectros foi feita por Annie Jump Cannon (1863-1941), classificando 225 000 estrelas até magnitude 9 entre 1918 e 1924, publicadas no Henry Draper Catalogue. Ela notou que as estrelas iam de azuis-esbranquiçadas a avermelhadas e classificou seus espectros de acordo com as linhas de hidrogênio, sendo A a mais forte, B a seguinte, C e assim por diante.

Atualmente as estrelas são classificadas em função decrescente da temperatura, como O B A F G K M:

O	estrelas azuis, com Tef=20 000 a 35 000 K, apresentam linhas de HeII (hélio uma vez ionizado) e ultravioleta forte. Exemplo: 10 Lac (V=4,88, O9) e Mintaka ($\delta$ Ori, uma das Três Marias, V=2,10, O9).
B	estrelas branco-azuladas , com Tef=15 000 K, com linhas de HeI. Exemplos: Rigel ($\beta$ Ori, V=0,12, B8Ia) e Spica ($\alpha$ Vir, V=0,90, B1V).
A	estrelas brancas, com Tef=9000 K, com linhas de HI forte. Exemplos: Sírius ($\alpha$ Can Maj, V=-1,46, A1V) e Vega ($\alpha$ Lyr, V=0, A0V).
F	estrelas branco-amareladas, com Tef=7000 K, com linhas de metais observadas. Exemplos: Canopus ($\alpha$ Car, V=-0,72, F0Ib) e Procyon ($\alpha$ Can Min, V=0,38, F5IV).
G	estrelas amarelas, com Tef=5500 K, como o Sol, com fortes linhas de metais e HI fraco. CaI (H e K) fortes. Exemplos: Sol (G2V) e Capela ($\alpha$ Aur, V=0,08, G1II).
K	estrelas alaranjadas, com Tef=4000 K, com linhas metálicas dominantes. Contínuo azul fraco. Exemplos: Aldebarã ($\alpha$ Tau, V=0,80, K5III) e Arcturus ($\alpha$ Boo, V=-0,04, K2III).
M	estrelas vermelhas, com Tef=3000 K, com bandas moleculares (TiO) muito fortes. Exemplos: Betelgeuse ($\alpha$ Ori, V=0,50, M2Ib) e Antares ($\alpha$ Sco, V=0,88, M1Ib).

Uma frase para lembrar a ordem de temperaturas é:

Oh! Be A Fine Girl, Kiss Me!.

(ou Only Boring Astronomers Find Gratification Knowing Mnemonics)

Espectro de estrelas por classe espectral. (David Silva)

Intensidade das linhas por tipo espectral. As linhas de hélio dominam nas estrelas O e B, as de hidrogênio nas estrelas A, as de cálcio nas estrelas K e as de óxido de titânio das estrelas M.

Cada tipo espectral se subdivide em 10 classes, sendo 0 a mais quente, dentro da classe e 9 a mais fria.

Nos anos 1990 foram descobertas estrelas mais frias que as M9, e adicionou-se as classes L, com temperaturas entre 2200K e 1400K e T, com temperaturas abaixo de 1400K (quando se forma o metano), e o mnemônico se tornou: Oh! Be A Fine Girl, Kiss Me Lovingly Tonight.

Cada linha escura no espectro de uma estrela está associada à presença de um elemento químico na atmosfera da estrela. Isso pode nos levar a pensar que as estrelas com linhas espectrais diferentes têm composição química diferente. No entanto, atualmente se sabe que a composição química das estrelas em geral é praticamente a mesma: aproximadamente 90% hidrogênio e aproximadamente 9% hélio (por número); outros elementos juntos contribuem entre 1% e 2% da composição e são chamados de metais. Portanto, o hidrogênio é de longe o elemento químico mais abundante nas estrelas e, ainda assim, as linhas do hidrogênio, embora fortes em algumas estrelas, são fracas em outras. Como isso se explica?

Na verdade, mais do que a composição química, é a temperatura que determina o espectro das estrelas. Consideremos uma linha de Balmer do hidrogênio. Essas linhas se originam em transições entre o segundo nível de energia do hidrogênio e qualquer outro nível acima dele: transições de nível para cima (n₂ > 2) resultam em absorção, transições de nível para baixo (n₂ = 2) resultam em emissão. Então, para uma estrela ter linhas de Balmer intensas, ela precisa ter muitos átomos de hidrogênio excitados ao nível n=2. Isso acontece em estrelas com temperatura em torno de 10 000 K (kT = 0,86 eV); para temperaturas muito mais baixas, como a do Sol por exemplo, o hidrogênio está no estado fundamental e poucas colisões podem acontecer que sejam energéticas o suficiente para excitar o hidrogênio. Já em estrelas com temperaturas muito mais altas, o hidrogênio está quase todo ionizado, devido às freqüentes colisões e, novamente, existem muito poucos átomos excitados. Assim, as linhas de Balmer ficam fracas em estrelas muito quentes ou muito frias, apesar de o hidrogênio existir abundantemente em todas.

Classificação de Luminosidade

Morgan & Keenan

Considerando que a luminosidade é dada por

vemos que uma estrela de maior raio tem maior luminosidade, para a mesma temperatura.

Como a classificação espectral de Harvard só leva em conta a temperatura, em 1943, William Wilson Morgan (1906-1994), Philip Childs Keenan (1908-2000) e Edith Kellman, do observatório de Yerkes, introduziram as seis diferentes classes de luminosidade, baseados nas larguras das linhas espectrais:

• Ia - supergigantes superluminosas. Exemplo: Rigel (B8Ia) - L=40550 L_Sol.
• Ib - supergigantes. Exemplo: Betelgeuse (M2Iab) - L=12246 L_Sol.
• II - gigantes luminosas. Exemplo: Antares (MII) - L=4875 L_Sol.
• III - gigantes. Exemplo: Aldebarã (K5III) - L=100 L_Sol.
• IV - subgigantes. Exemplo: Acrux ($\alpha$ Crucis - B1IV) - L=3076 L_Sol.
• V - anãs (seqüência principal). Exemplo: Sol (G2V) - L=1 L_Sol.

A classe de luminosidade é determinada pela largura das linhas espectrais, que dependem fortemente da gravidade superficial, diretamente relacionada à luminosidade pelo raio. As massas das gigantes e anãs são similares, mas o raio das gigantes é muito maior. Como a aceleração gravitacional é dada por g:

ela é muito maior para uma anã do que para uma gigante. Quanto maior a gravidade superficial, maior a pressão e, portanto, maior o número de colisões entre as partículas na atmosfera da estrela. As colisões perturbam os níveis de energia dos átomos, fazendo com que eles fiquem mais próximos ou mais afastados entre si do que o normal. Em conseqüência, os átomos perturbados podem absorver fótons de energia e comprimento de onda levemente maior ou menor do que os que os fótons absorvidos nas transições entre níveis não perturbados. O efeito disso é que a linha de absorção fica alargada. Portanto, para uma mesma temperatura, quanto menor a estrela, mais alargada será a linha, pois a pressão será maior.

Atualmente usamos mais duas classes de luminosidades, para luminosidades menores que as da seqüência principal, as sd (sub-dwarf) sub-anãs e as D degeneradas, ou anãs brancas. Andrew J. Pickles (1953-) publicou em 1998 um catálogo de fluxos esperados para os diversos tipos de estrelas, desde 1150Å até 25 000Å, no Publications of the Astronomical Society of the Pacific, Volume 110, Issue 749, pp. 863-878.

Velocidade Radial e Efeito Doppler

Um outro uso da espectroscopia é a derivação da velocidade radial, isto é, a velocidade do objeto na linha de visada, utilizando o efeito Doppler.

Em 1842 Christian Doppler (1803-1853) deduziu que, para um corpo luminoso se aproximando (ou se afastando) do observador, o comprimento de onda da luz diminui (aumenta), em relação àquele observado em laboratório. O comprimento de onda de uma fonte que está se movimentando com velocidade v em relação ao observador é deslocado por:

onde é o ângulo entre o vetor velocidade e a linha de visada, já com a correção devido à Relatividade Especial, proposta por Einstein em 1905. Se a velocidade for muito menor que a velocidade da luz, e considerando v_r como a componente de velocidade na direção do observador:

Em 1868 Sir William Huggins deduziu a velocidade radial de Sírius observando a pequena diferença no comprimento de onda da linha F () do hidrogênio. Mais tarde foram observadas variações nesta velocidade (veja Estrelas Binárias).

Perfil da Linha

Perfil da linha: intensidade versus comprimento de onda

O perfil de uma linha representa a variação da densidade de fluxo (intensidade) com o comprimento de onda. A forma de uma linha espectral é chamada de perfil da linha. A forma verdadeira da linha reflete as propriedades da atmosfera da estrela: temperatura T, pressão P, gravidade superficial g, densidade e velocidade das partículas v, mas o perfil observado também é alargado pelo instrumento de observação (incluindo a largura da fenda).

A composição química da atmosfera de uma estrela pode ser determinada pela razão das profundidades das linhas espectrais, que depende da temperatura e pressão.

Lei de Boltzmann - Equação de Excitação

O austríaco Ludwig Boltzmann (1844-1906) derivou a relação entre a densidade de átomos com um grau de excitação (i+1) em relação à densidade de átomos com um grau de excitação i:

onde E_i,i+1 = E_i+1-E_i é a diferença de energia entre os estados final e inicial, e g_i é o peso estatístico do nível i, isto é, o número de diferentes estados com a mesma energia E_i; um nível com momentum angular J tem g_i = 2J+1. Para o hidrogênio no nível n, g_n = 2n². k=1,38 × 10^-23J/K é a constante de Boltzmann.

Por exemplo, podemos calcular a fração de átomos de hidrogênio no nível n=2, em relação ao n=1 para temperaturas de T=10000 K e 20000 K. Como a diferença de energia entre os níveis n=2 e n=1 é de 10,19 eV, temos $E_{i,i+1} = 10,19$ eV e $g_2=8$ e $g_1=2$. Pela Lei de Boltzmann, obtemos:

lembrando que 1 eV = $1,602 \times 10^{-19}$ J e $k=1,38 \times 10^{-23}$ J/K,

enquanto

372 vezes maior.

Nn/N1	T=5040 K	10080 K	20160 K
n=2	2,5×10-10	3,2×10-5	1,1×10-2
n=3	6,9×10-12	8,1×10-6	8,3×10-3
n=4	2,8×10-12	6,8×10-6	1,0×10-2

Podemos calcular o comprimento de onda de um fóton com energia equivalente a 10,19 eV notando que $E=h\nu=hc/\lambda$ e, portanto, o comprimento de onda equivalente é de 1216 Å. Podemos também calcular o comprimento de onda de emissão máxima para T=10000 K, usando a Lei de Wien, obtendo $\lambda_{\mathrm{max}}(T=10\,000{\mathrm{K}})=2898,8$ Å enquanto que $\lambda_{\mathrm{max}}(T=20\,000{\mathrm{K}})=1448,9$ Å. Portanto é óbvio que uma estrela com $T_{\mathrm{ef}}$=20000 K tem muito mais fótons com energia suficiente para excitar o elétron do átomo de hidrogênio ao nível n=2, explicando a grande diferença obtida.

A intensidade de uma linha depende diretamente do número de átomos no estado de energia a partir do qual a transição ocorre. Precisamos então saber que fração de todos os átomos de um elemento estão naquele estado de energia, o que depende da temperatura T.

Lei de Saha - Equação de Ionização

O indiano Meghnad Saha (1893-1956) utilizou a mecânica estatística para derivar em 1921 o número de átomos por unidade de volume em um grau de ionização i+1 em relação ao grau i, para um gás em equilíbrio termodinâmico local:

onde N_e é a densidade de elétrons (número de elétrons por unidade de volume), N é o número de átomos por unidade de volume, U_i é a função partição

sendo E_j a energia acima do nível fundamental do estado i, k a constante de Boltzmann,

e m_e é a massa do elétron,

A dependência na densidade de elétrons, N_e, se dá porque as excitações e des-excitações ocorrem por radiação e por colisão. Quanto maior for a densidade de elétrons, maior será a probabilidade de uma colisão. Ambos processos dependem da temperatura do meio, já que a energia média das partículas é dada por:

Usando a lei dos gases ideais P_e = N_e kT, podemos escrever:

log N_i+1N_i
P_e = -0,48 + log2 U_i+1U_i
+ 2,5 logT - 5040 KT
E_i,i+1kT

para P_e em dinas/cm². Para o hidrogênio, U_I = 2 e U_II = 1.

	T=5040 K	10080 K	20160 K
(NHII/NHI)Pe	1,5×10-5	5,4×102	7,6×106

De acordo com Clabon Walter Allen (1904-1987), Astrophysical Quantities, 3rd Ed., p. 165, na fotosfera do Sol (profundidade ótica=1 em 5000 Å), P_e=57,5 dina/cm² e N_e=6,5×10¹³ cm^-3. Um valor representativo da fotosfera como um todo é P_e=3,4×10⁴ dina/cm² e N_e=3,8×10¹⁶ cm^-3.

Em uma situação em que o equilíbrio térmico ocorre, o número de átomos num estado não muda com o tempo. Cada excitação, em média, compensa uma desexcitação.

Combinando-se as equações de Boltzmann e Saha, podemos calcular o número de átomos de hidrogênio em um nível de excitação n em relação ao número total de H=HI+HII:

$\frac{N_2}{N_{\mathrm{total}}}=\frac{N_2}{N_1+N_2}\frac{N_I}{N_{\mathrm{total}}$

ou

Nn/NH	T=5040 K	10080 K	20160 K
n=2	2,5×10-10	6,0×10-8	1,4×10-9
n=3	6,9×10-12	1,5×10-8	1,2×10-9

A aplicação das leis de Saha e Boltzmann é que nos permite interpretar os espectros das estrelas. Por exemplo, à T_ef=5000 K a 7000 K, o cálcio deve estar na forma de CaII (uma vez ionizado). Estrelas com linhas fortes de CaII e fracas de CaI devem portanto ter temperaturas efetivas nesta faixa. Naturalmente isto depende também da densidade de elétrons, pela Lei de Saha.

Para o hélio, U_I=U_III=1 e U_II=2, E_I,II=24,58 eV e E_II,III=54.41 eV. Para temperaturas abaixo de 10000K todo o hélio está neutro. Entre 10000K e 14000K varia de quase todo neutro para quase todo uma vez ionizado, permancendo uma vez ionizado até 22000K, acima da qual inicia a segunda ionização, que se completa em 30000K.

Mudanças de ionização do nitrogênio com a temperatura.

Curvas de transmissão dos filtros U, B e V, mostrando que linhas espectrais estão dentro dos filtros.
Efeito de acobertamento do espectro pelas linhas espectrais (line blanketing). Quando a metalicidade da estrela aumenta, as linhas de absorção causam uma transferência de energia para outros comprimentos de onda, mudando a cor da estrela.

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...Daguerre.

A fotografia não foi inventada por uma só pessoa, pois a camara obscura já existia há quatro séculos quando em 1822 o litógrafo Joseph Nicephore Niépce (1765-1833) conseguiu fixar uma imagem sobre uma placa metálica. Associou-se a Louis-Jacques-Mandé Daguerre (1787-1851) em 1829, e em 1839 lançaram o processo fotográfico (daguerreótipo).

O espectro da lâmpada fluorescente

Uma lâmpada fluorescente típica é composta de um tubo de vidro recoberto com uma camada de fósforo, contendo vapor de mercúrio, e eletrodos localizados nas duas extremidades. Quando uma voltagem é aplicada, os eletrodos energizam o vapor de mercúrio, que emite radiação ultravioleta. O fósforo do revestimento do tubo absorve os fótons UV e emite luz visível pelo processo de fluorescência.

Ao olharmos uma lâmpada fluorescente através de um espectroscópio, vemos um espectro de linhas brilhantes (emissão) superposto a um espectro contínuo. O espectro de linhas brilhantes é originado na emissão do vapor de mercúrio, portanto apresenta as linhas típicas deste elemento. O espectro contínuo é originado na emissão do revestimento (opaco) de fósforo.

Estrelas Binárias
Estrelas e Diagrama HR

Astronomia e Astrofísica