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Relatividade Geral

Na relatividade geral, a velocidade da luz não é mais mantida constante, mas depende do sistema de coordenadas quando um campo gravitacional está presente. A idéia fundamental da relatividade geral é que todos sistemas de coordenadas gaussianos são equivalentes para a formulação das leis gerais da natureza, de modo que as equações não devem mudar de forma ao serem submetidas a substituições arbitrárias das variáveis gaussianas. As transformações de Lorentz não satisfazem esta condição.

A equação de campo de Einstein [Albert Einstein, Sitzungsberichte der Preuβische Akademie der Wissenschaften (Berlin), 844 (1915)] modificada para incluir a constante cosmológica Λ [Albert Einstein, Sitzungsberichte der Preuβische Akademie der Wissenschaften (Berlin), 142 (1917)] pode ser escrita como:

$${R_{ik}-\frac{1}{2}g_{ik}R-\Lambda g_{ik}=\frac{\kappa}{c^2}T_{ik}}$$ (1.22)

onde $R_{ik}$ é o tensor espaço-tempo, $g_{ik}$ são as componentes do tensor métrico e dependem do sistema de coordenadas usado e da unidade da coordenada temporal, $T_{ik}$ é o tensor momentum-energia, que depende da distribuição e movimento das massas e do campo eletromagnético, $\Lambda$ é a constante cosmológica, que pode ser nula, e

${\kappa \equiv \frac{8\pi G}{c^2}}$

é a constante gravitacional de Einstein. Na equação (22), onde os dois índices i e k variam de 0 a 3 e R=g^ikR_ik é o traço, necessário para que o divergente covariante do lado esquerdo seja nulo, já que a divergência covariante do tensor energia-momentum é nula pela conservação de energia-momentum no limite da relatividade especial. Os dois primeiros termos à esquerda do sinal de igualdade representam a curvatura do espaço-tempo, o termo à direita as forças que atuam neste sistema e o terceiro termo à esquerda, da constante cosmológica $\Lambda$, representa a energia do vácuo, que normalmente é assumida nula. Para pequenas regiões do espaço-tempo, o espaço pode ser considerado plano e as coordenadas Lorentzianas. Neste caso,

$g_{ik} = \frac{dx^i}{dx^k}.$

Para um gás, o tensor energia-momentum em coordenadas curvilíneas pode ser escrito como:

$$T^{ik} = (\varepsilon + P) u^iu^k - Pg^{ik},$$ (1.23)

onde

$\varepsilon = \rho c^2,$

é a densidade de energia da matéria, incluindo a energia de repouso, medida no sistema em repouso com a matéria, $P$ é a pressão isotrópica, e

$u^i = \frac{dx^i}{ds},$

é a quadri-velocidade do gás.

A conservação de energia-momentum é expressa pela lei fundamental de geometria:

$\nabla \cdot T = 0.$

A equação (22) pode ser escrita como:

$$R_{ik} - \frac{1}{2}g_{ik}R = \Lambda g_{ik} + \left(\frac{8\pi G}{c^4} \right)T_{ik}.$$ (1.24)

A equação da geodésica (world line) de uma partícula pode ser definida em termos do seu tempo próprio $\tau$ e da sua quadri-velocidade $\bf u$ como:

$${\bf\nabla_u\, u} = 0.$$ (1.25)

Escolhendo-se um sistema de coordenadas tal que:

$$u^i = \frac{dx^i}{d\tau},$$

podemos escrever os componentes da equação (25) como:

$$0=\frac{D(dx^i)/d\tau}{d\tau} = \frac{d(dx^i)/d\tau}{d\tau} + \Gamma^i_{kl}\frac{dx^k}{d\tau}\frac{dx^l}{d\tau} = 0,$$ (1.26)

onde $\Gamma^i_{kl}$ são os símbolos de Christoffel [Elwin Bruno Christoffel (1829-1900)], se as coordenadas formam uma base:

$\Gamma^i_{kl} = \frac{1}{2}g^{ij}\left(\frac{\partial g_{jk}}{\pa... ...c{\partial g_{jl}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{kl}}{\partial x^j}\right).$

Note que, na equação (26), as componentes da ``derivada'' ($D/d\tau$) precisam ser corrigidas pelos termos proporcionais aos símbolos de Christoffel porque as coordenadas generalizadas de Gauss podem variar rapidamente, levando a mudanças nas componentes de um vetor mesmo que o vetor não varie.

Ou seja, a equação em coordenadas curvilíneas que define a linha geodésica (linha que seguirá uma partícula livre) conectando dois pontos no espaço-tempo é dada por:

$$\frac{d^2x^i}{d\tau^2} + \Gamma^i_{kl}\frac{dx^k}{d\tau}\frac{dx^l}{d\tau} = 0,$$

que pode ser resolvida especificando-se os valores iniciais de $x^i$ e $dx^i/d\tau$ para $\tau=\tau_0$.

Para descrever completamente um espaço-tempo curvo, o matemático alemão Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), que obteve seu doutorado sob a supervisão de Gauss, demonstrou que é preciso de um tensor de ordem 4:

$R^i_{klm} = \frac{\partial \Gamma^i_{km}}{\partial x^l} - \frac{...{kl}}{\partial x^m} + \Gamma^i_{nl}\Gamma^n_{km} - \Gamma^i_{nm}\Gamma^n_{kl},$

chamado de tensor de curvatura de Riemann. Com este tensor de quarta ordem podemos construir um tensor de segunda ordem por contração:

$R_{km} = R^i_{klm}g^l_i = R^i_{kim},$

onde índices repetidos significam soma, pela convenção da soma de Einstein. Este tensor de segunda ordem é chamado de tensor Ricci [Georgorio Ricci-Curbastro (1853-1925)], que contraído nos dá a curvatura escalar do espaço-tempo:

$R = R_{km}g^{km}.$

A densidade de massa-energia, medida por um observador de quadri-velocidade $u$ é dada por:

$\varepsilon = \rho c^2 = {\bf u \cdot T \cdot u} = u^iT_{ij}u_j.$

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