Coeficiente Total de Opacidade

Condução Térmica

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Coeficiente Total de Opacidade

Finalmente, o coeficiente total de absorção por unidade de massa, levando-se em conta o espalhamento coerente e a emissão induzida, pode ser escrito como:

A emissão induzida leva em conta que se uma radiação de freqüência $\nu=\nu_{E_i}$ incide sobre um átomo já no estado $i$, a probabilidade de emissão de radiação nessa freqüência será aumentada, o princípio dos masers e lasers. O excesso de probabilidade é proporcional à intensidade $I_\nu$ da radiação incidente, como determinado por Einstein em 1917, em sua derivação da lei de Planck.

Podemos obter fórmulas aproximadas para os coeficientes de absorção, no caso de ionização completa:

onde

e

e

onde $t$ é chamado de fator de guilhotina

com $u \equiv \frac{h\nu}{kT}$, $\bar{f}(u)$ uma média de $f^{(i)}(u)$ sobre todos os elementos relevantes exceto H e He de

$f^{(i)}(u) \equiv \sum_n \frac{2\pi^2 e^4 m_e Z_i^2}{n^2h^2kT} ...S_{n,i}^4}{n^3}[\frac{2\left(2\pi m_ekT\right)^{3/2}n_n^i}{n_eh^3}]$

e $S_{n,i}=\frac{\nu_e(i)}{Z_i}$ a carga efetiva.

Como o coeficiente numérico de $K_{bf}$ é muito maior do que o coeficiente de $K_{ff}$, o coeficiente de absorção ligado-livre domina sobre o coeficiente livre-livre no interior estelar, se a abundância dos elementos pesados $Z=1-X-Y$ for grande o suficiente. Se usarmos $\bar{g}_{ff}=\bar{g}_{bf}=F'(\rho,T)=1$, $B=5$ e $t=10$, obtemos a condição

ou seja K_bf>K_ff se a metalicidade Z ≥ 0,01:

isto é, a opacidade ligado-livre (fotoionização) domina sobre a livre-livre (desaceleração dos elétrons) para estrelas de População I, como o Sol.

Figura publicada por Chushiro Hayashi, Minoru Nishida e Daiichiro Sugimoto (1962, Progress of Theoretical Physics Supplement, 22, 1) ilustrando as regiões onde cada tipo de opacidade é mais importante, em função da temperatura e densidade.

Já a condição $K_e \geq K_{bf}$, assumindo $\bar{g}_{ff}B/t=1/2$, se dá com:

ou

isto é, para

$K_e \simeq K_{bf} \simeq K_{ff}$, para $Z=0,01$. Portanto, para densidades $\rho \simeq 10-100~{g/cm^3}$, normais nos interiores estelares, o espalhamento por elétrons domina para $T \geq 10^7$ K.

Regiões de domínio dos diferentes tipos de absorção.

Outras componentes que precisam ser levadas em conta são as transições ligado-ligado (excitação), e o alargamento da linha por colisão, efeito Doppler (velocidade) e efeito Stark (campo elétrico, proporcional à densidade) [Johannes Stark (1874-1957) (1914, Beobachtungen über den Effekt des elektrischen Feldes auf Spektrallinien I. Quereffekt, Observações do efeito do campo elétricos nas linhas espectrais I. Efeito transversal, Annalen der Physik, 43, 965)]. Para estrelas com campos magnéticos fortes, como no caso de estrelas de anãs brancas magnéticas e estrelas de nêutrons, precisamos levar em conta o efeito Zeeman [Pieter Zeeman (1865-1943) (1897, "The Effect of Magnetisation on the Nature of Light Emitted by a Substance", Nature, 55, 347) e a explicação teórica de seu professor Hendrik Antoon Lorentz (1853-1928)], já que a propagação ao longo do campo é diferente de perpendicular a ele.

H^-

Para temperaturas abaixo de 7000 K, pode formar-se o íon negativo H^- pois um hidrogênio neutro se polariza se houver uma carga elétrica próxima, podendo atrair e ligar-se a outro elétron. A baixas temperaturas, o íon negativo H^- é a principal fonte de absorção, pois tem um nível somente 0,754 eV acima do fundamental, que corresponde a um fóton de λ=16 500 Å. Para que exista o íon, é necessária a presença de hidrogênio neutro e elétrons livres. O número de íons negativos de hidrogênio em equilíbrio é dado pela lei de Saha, onde o potencial de ionização é dado pela energia de ligação do segundo elétron, 0,754 eV. A função de partição U_-=1 para o íon negativo e U₀=2 para o hidrogênio neutro. Logo a lei de Saha pode ser escrita como

$\frac{n_0}{n_-}P_e = 4\frac{(2\pi m_e)^\frac{3}{2}(kT)^\frac{5}{2}}{h^3}e^{-0,754~{eV}/kT}$

Os elétrons são provenientes de algum hidrogênio ionizado e de elétrons das camadas externas de alguns metais abundantes, como Na, K, Ca e Al. Portanto, a opacidade do ${H}^-$ depende não somente da temperatura, mas da abundância dos metais. Para $3000 \leq T \leq 6000$ K, densidades de $10^{-10} \leq \rho \leq 10^{-5}~{g/cm^3}$, uma estimativa da opacidade é

Em 1961 o japonês Chushiro Hayashi (1920-2010) demonstrou que uma estrela com opacidade H^- dominante é totalmente convectiva e tem a menor temperatura atmosférica possível; modelos com temperaturas mais baixa não estão em equilíbrio hidrostático. Esta temperatura é chamada de limite de Hayashi, e corresponde ao ramo das gigantes [Chushiro Hayashi & Reun Hoshi. The Outer Envelope of Giant Stars with Surface Convection Zone, Publications of the Astromical Society of Japan 13, 442-49 (1961)].

Para temperaturas abaixo de 5000 K, as absorções moleculares são muito importantes. Jonathan Tennyson et al. (2016, The ExoMol database: Molecular line lists for exoplanet and other hot atmospheres, Journal of Molecular Spectroscopy, 327, 73) mantém a base de dados de moléculas e transições, com níveis de energia, tempo de vida médio, coeficientes de Einstein, importantes nas atmosferas..

Absorções atômicas e moleculares para estrelas de sequência principal como função comprimento de onda (Szabolcs Mészáros et al., 2024, The updated BOSZ synthetic spectral library, Astronomy & Astrophysics. arXiv:2407.10872v2).

Diagrama cor-magnitude do aglomerado globular NGC 6397 obtido por Harvey B. Richer, Aaron Dotter, Jarrod Hurley, Jay Anderson, Ivan King, Saul Davis, Gregory G. Fahlman, Brad M. S. Hansen, Jason Kalirai, Nathaniel Paust, R. Michael Rich & Michael M. Shara (2008, Astronomical Journal, 135, 2141), combinando 126 órbitas do Hubble Space Telescope com a Advanced Camera for Surveys. O limite mínimo de queima de hidrogênio de Isabelle Baraffe et al. (1997, Astronomy & Astrophysics, 327, 1054) e de Dotter, A., Chaboyer, B., Jevremovic, D., Baron, E., Ferguson, J. W., Sarajedini, A., & Anderson, J. (2007, Astronomical Journal, 134, 376) estão representados por um quadrado e por um círculo fechado. Isabelle Baraffe, Derek Homeier, France Allard & Gilles Chabrier (2015, New evolutionary models for pre-main sequence and main sequence low-mass stars down to the hydrogen-burning limit, Astronomy & Astrophysics, 577, id.A42) publicaram novos modelos.

Somente os modelos mais recentes incluem as opacidades moleculares necessárias para explicar a cor das estrelas próximas do limite de queima de hidrogênio (0,08 M_⊙), observadas por exemplo com o Telescópio Espacial Hubble nos cúmulos globulares NGC 6397 e M4, e também as estrelas mais vermelhas do ramo das supergigantes (AGB) [Jason W. Ferguson & Aaron Dotter (2008, The Art of Modeling Stars in the 21st Century, Proceedings of the International Astronomical Union, IAU Symposium, Volume 252, p. 1); Aaron Dotter, Brian Chaboyer, Darko Jevremovic, Veselin Kostov, E. Baron, & Jason W. Ferguson (2008, The Dartmouth Stellar Evolution Database, Astrophysical Journal Supplement, 178, 89); Paola Marigo, Leo Girardi, Alessandro Bressan et al. (2008, Astronomy & Astrophysics, 482, 883); Achim Weiss & James W. Ferguson (2009, Astronomy & Astrophysics, 508, 1343)].

Yang Chen, Léo Girardi, Alessandro Bressan, Paola Marigo, Mauro Barbieri & Xu Kong, no artigo de 2014 (2014arXiv1409.0322C) mostram que, mesmo usando as opacidades moleculares, precisam de uma correção empírica para ajustar os diagramas cor-magnitude dos aglomerados na parte fria.

Como dissemos antes, frequentemente se aproxima a opacidade por uma fórmula do tipo:

que, embora não precisas, servem para estimativas. O caso n=1 e s=3,5, válido para absorção livre-livre em um gás não-degenerado em que a maioria dos elementos está completamente ionizado, é chamada de opacidade de Kramers, pois foi derivada classicamente para as opacidades livre-livre e ligado-livre pelo físico holandês Heindrik Anthony Kramers (1894-1952) em 1923. $K_0$ função da composição química, e $n$ e $s$ ajustados às tabelas de opacidades. O caso $n=1$ e $s=3,5$ só é estritamente válido para as transições livre-livre em um gás não-degenerado basicamente ionizado.

Condução Térmica

Por condução térmica, o fluxo de energia depende do gradiente de temperatura, isto é, o fluxo se dá da região mais quente para a mais fria,

onde $\nu_c$ é o coeficiente de condução.

Evry Leon Schatzman (1920-2010) e Françoise Praderie (1993, The Stars, Heidelberg, Springer, p. 102), propõem que o coeficiente de difusão dos elétrons, responsáveis pela condução, para um plasma fracamente correlacionado, é dado por

$\nu_c\simeq \frac{1}{3}\frac{1}{\pi}\frac{(kT)^\frac{5}{2}}{e^4 N_i \sqrt{m_e}} \frac{1}{\log (\ell_D/a)}$

onde $\ell_D$ é o comprimento de Debye [Peter Joseph William Debye (1884-1966)], a=3/2 para um gás de elétrons não degenerado (T ≫ T_F), a=π²/3 para um gás de elétrons altamente degenrado (T ≪ T_F). e

$\frac{\ell_D}{a}=\frac{(\frac{4}{3}\pi N_e)^\frac{1}{3}} {(\frac{8\pi N_e e^2}{kT})^\frac{1}{2}}$

Podemos modificar a definição de opacidade, definindo uma opacidade efetiva total:

onde $K_R$ é a opacidade radiativa, e $K_c$ a opacidade conductiva, definida de modo que:

ou seja:

e, portanto, o fluxo total

pode ser escrito usando-se a equação do equilíbrio radiativo (1.51), substituindo-se $K$ por $K_{total}$.

Valores da opacidade conductiva, $K_c ({cm^2/g})$, para $T=10^7$ K.

Embora a condução não seja um mecanismo importante de transporte de energia para estrelas na seqüência principal, ela é importante no núcleo de estrelas anãs brancas e de algumas supergigantes vermelhas, onde os elétrons estão degenerados. Como nenhum processo envolvendo colisão de um elétron degenerado pode espalhar o elétron para um estado de energia já ocupado, somente os elétrons próximos do topo do mar de Fermi podem participar efetivamente no processo de condução. O mecanismo mais eficiente de espalhamento dos elétrons é através da interação coulombiana com os íons do meio, e, portanto, a opacidade conductiva depende da carga dos íons, $Z_i$.

Em 1950, Leon Mestel calculou o coeficiente condutivo para o caso de elétrons não-relativísticos, obtendo

onde

O fator $\Theta_i$ leva em conta os efeitos dos encontros distantes dos elétrons e íons

$\theta_i$ também é função da degenerescência e precisa ser calculado numericamente, como $f(\varepsilon_F/kT)$:

$\varepsilon_F/kT$	$Z_i^{1/3}\theta_i$	$f(\varepsilon_F/kT)$
-4	0,15479	0,4369
-0,2	0,48637	17,67
4	0,77132	367,9
8	0,82284	2001

Para pequena degenerescência, $\varepsilon_F/kT\leq -4$,

$\theta_i \simeq 0,589 [e^(\varepsilon_F/kT)]^\frac{1}{3}/Z_i^\frac{1}{3}$

Para grande degenerescência, $\varepsilon_F/kT\geq +8$,

$\theta_i \simeq 0,848 [1-2,06(\varepsilon_F/kT)^{-2}]/Z_i^\frac{1}{3}$

Uma estimativa mais simples é

Essa opacidade também depende da carga dos íons, pois os elétrons são acelerados em interações com os íons.

Como um exemplo de onde a opacidade conductiva é importante, consideremos o interior de uma anã branca fria, com $\rho \approx 10^6~{g/cm^3}$, $T \approx 10^7$ K, e uma composição de carbono. Como o carbono estará ionizado, a opacidade radiativa será dada por espalhamento de elétrons $K_e \simeq 0,2~{cm^2/g}$.
A opacidade conductiva (25), com $\mu_e=2$, $\mu_i=12$ e $Z_i=6$, será de $K_c \simeq 5 \times 10^{-5}~{cm^2/g}$.
Como $K_c \ll K_{rad}$, $K_{total} \approx K_c$, usando-se equação (18). Portanto, o transporte de energia se dará por condução, e não por radiação. Note que neste caso o menor coeficiente é dominante, o oposto do que ocorre com a opacidade real.

Alexander Yurievich Potekhin atualizou em 2006-2008 seus cálculos das opacidades conductivas para casos parcialmente e completamente degenerados, e disponibiliza um programa em fortran para seu cálculo.

Santi Cassisi, Alexander Yurievich Potekhin, Adriano Pietrinferni, Márcio Catelan & Maurizio Salaris publicaram em 2007 ("Updated Electron-Conduction Opacities: The Impact on Low-Mass Stellar Models", 2007, The Astrophysical Journal, 661, 1094). Os modelos PARSEC utilizam as opacidades condutivas de Naoki Itoh, Shinsuke Uchida, Yu Sakamoto, Yasuharu Kohyama & Satoshi Nozawa (2008, The Second Born Corrections to the Electrical and Thermal Conductivities of Dense Matter in the Liquid Metal Phase, Astrophysical Journal, 677, 495.)

Simon Blouin et al. (2020, The Astrophysical Journal, 899, 46, 774) tabelam a condução eletrônica para plasmas de H e He parcialmente acoplados e parcialmente degenerados como nas anãs brancas. Em plasmas degenerados, a condução eletrônica é a forma dominante de transporte de energia.

$K_{Ross} ({cm^2/g})$, para valores de $\rho~({g/cm^3})$ e $T ({K})$, para uma mistura de hidrogênio e hélio com X=0,739 e Y=0,240, de acordo com os cálculos de Los Alamos. A linha pontilhada indica um modelo solar. O espalhamento por elétrons produz a região plana baixa para altas temperaturas e densidades abaixo de 10 g/cm³.

Os cálculos de opacidades são bastante complexos, pois dependem da física estatística e da física de partículas e variam de acordo com a composição química do modelo. Os modelos até o início dos anos 1990 utilizavam as tabelas do astrônomo americano Arthur Nelson Cox (1927-2013) e James Edward Tabor (1931-1989) do Los Alamos National Laboratory, publicadas em 1976 (Astrophysical Journal Supplement, 31, 271.)
Em 1990, Carlos A. Iglesias, Forrest J. Rogers (1938-2013) e Brian G. Wilson, do Lawrence Livermore National Laboratory, publicaram (Astrophysical Journal, 360, 281) as tabelas do projeto OPAL, atualizadas em 1996 por Carlos A. Iglesias e Forrest J. Rogers (Astrophysical Journal, 464, 943) e novamente em 2006. As tabelas OPAL incluem correções de muito corpos, degenerescência dos elétrons, difração quântica e acoplamento de plasma. Só com estas correções foi possível modelar as pulsações das estrelas RR Lyrae e Delta Scuti com precisão, já que para alguns valores de T×ρ, estas opacidades são um fator de 3× maiores do que as anteriores. Somente a aproximação hidrogênica (duas partículas) pode ser calculada analiticamente. Para todos os outros átomos, o cálculo tem de ser por aproximação. Por exemplo, o $H^{-}$ tem um nível de energia 0,75 eV acima do nível fundamental do hidrogênio neutro, mas esse nível só pode ser calculado por aproximação não-hidrogênica. As tabelas e programas de interpolação podem ser acessados também neste link, e as versões atuais incluem correções nas opacidades conductivas de Potekhin et al. (2006) e as moleculares de Ferguson et al. (2005, Astrophysical Journal, 623, 585).

Table: Estrelas Variáveis

Tipo	Período	População	Tipo Espectral	Mag. Absoluta
RR Lyrae	1,5 a 24 h	Pop. II	A2-F2	0,6
Cefeidas	1 a 50 d	Pop. I	F6-K2	-6 a -0,5
W Virg	2 a 45 d	Pop. II	F2-G6	-3 a 0
Miras	100 a 700 d	I e II	M,T	-2 a 1
$\delta$ Scuti	0,5 a 5 h	Pop. I	A5-F5	2 a 3

Outro projeto que calcula as opacidades chama-se Opacity Project, liderado por Michael J. Seaton (1923-2007) do University College London. Em 2005, ele publica (Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 362, L1) o coeficiente de absorção monocromática para 17 elementos: H, He, C, N, O, Ne, Na, Mg, Al, Si, S, Ar, Ca, Cr, Mn, Fe e Ni, incluindo transições de elétrons internos (inner shell) com um arquivo dos dados e programa para calcular a opacidade média de Rosseland, para composições químicas diferentes e temperaturas e pressões diferentes.

Um exemplo dos resultados para uma composição química específica e uma densidade específica.

Michael J. Seaton e Nigel R. Badnell (2004, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 354, 457) apresentam uma comparação entre os resultados dos dois projetos, mostrando que os resultados são bastante similares, dentro de 5%, mas diferenças maiores que 30% entre OP e OPAL estão presentes para T=3×10⁵K; ρ=10^-5 g/cm³, exatamente a local do Z-bump (excesso por Z), onde o aumento na opacidade local produz as condições para a excitação de pulsações observadas em estrelas tipo B e subanãs (sdB).
Naturalmente as opacidades totais dependem da composição química assumida. A maior parte dos cálculos ainda está feita com a composição solar de Nicolas Grevesse e Arlette Noels (1993). Algums modelos foram calculadas para a composição de Martin Asplund, Nicolas Grevesse e A. Jacques Sauval (2005). Por exemplo, este link contém o coeficiente de Rossland para composição de Martin Asplund, Nicolas Grevesse e A. Jacques Sauval (2005). Mas os resultados de heliosismologia não concordam com os valores da abundância de hélio de 2005. Uma recente determinação das abundâncias solares é Nicolas Grevesse, Martin Asplund, A. Jacques Sauval & Pat Scott (2010, Astrophysics & Space Science, 328, 179), obtendo X=0,7380, Y=0,2485 e Z=0,0134, consistente com a heliosismologia.

Opacidade média de Rosseland para X=0,8 e Z=0,002. T₆ é T/(1 000 000 K).

Os modelos PARSEC: PAdova and TRieste Stellar Evolution Code de Alessandro Bressan, Paola Marigo, Léo Girardi, Bernardo Salasnich, Claudia Dal Cero, Stefano Rubele & Ambra Nanni (2012, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 427, 127) foram calculados para Z=0,0152 (Elisabetta Caffau et al. 2011), mas acoplados com o projeto OPAL, permitem calcular a opacidade para qualquer composição química consistentemente. Estes modelos, de 0,1 a 12 massas solares, incluem a fase de pré-sequêncial principal, e evoluem até o início dos pulsos térmicos ou ignição do carbono.

Uma nova determinação da composição solar é Ekaterina Magg et al. (2022, Observational constraints on the origin of the elements, IV. Standard composition of the Sun, Astronomy & Astrophysics, 661, A140), incluindo a modelagem tridimensional da convecção e modelos fora de equilíbrio, e novos cálculos das transições de O I e N I, obtendo uma metalicidade no presente de Z/X=0.0225 e A(O)=8,77±0,04 dex, mais próxima do valor de Grevesse & Saval (1998) do que a Asplund et al. (2021), concordando com os valores da heliosismologia.

Tabelas detalhadas de opacidades foram publicadas em 2024 por Ebraheem Farag et al. (An Expanded Set of Los Alamos OPLIB Tables in MESA: Type-1 Rosseland-mean Opacities and Solar Models, The Astrophysical Journal, 968, 56) e seus efeitos no modelo solar. As diferenças entre usar as novas 1194 OPLIB tabelas de opacidade e as 126 tabelas OPAL vão de 20% a 80% dependendo da mistura química, entre 8% e 15% na base e topo da zona de convecção do Sol, e 7% no núcleo do Sol. Embora as novas tabelas expandam as determinações para Z=10^-6 a Z=0.02, e X=0 até X=0.1, as novas opacidades não resolvem o problema da abundância, geração de neutrino ou diferenças com a héliosismologia. Estas tabelas já estão disponíveis no MESA.

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Evolução Estelar