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Opacidades

A opacidade do material, com dimensões de área por unidade de massa, representa a soma das secções de choque de todos os absorvedores e espalhadores em um dado volume, divido pela massa deste volume.

Para tratar corretamente o transporte de energia por radiação, precisamos dispor de valores da opacidade para todas as condições de temperatura e densidade no interior estelar e mesmo na sua atmosfera. A maior parte da massa de uma estrela na sequência principal está a temperaturas da ordem de 1 a 30 × 10⁶ K. A essas temperaturas, o pico da distribuição de Planck varia entre 29 Å e 0,9 Å, de acordo com a Lei de Wien

$\lambda_{max}T = 0,29 \times 10^8{\AA~K}.$

Esses comprimentos de onda correspondem a raio-X, mole e duro. A essas temperaturas todos os elementos estão ionizados a tal ponto que no máximo alguns elétrons permanecem nas camadas mais internas. O hidrogênio e o hélio estão essencialmente ionizados e, portanto, estão na forma de elétrons, prótons e partículas α, livres.

O pico da distribuição de Planck ocorre em hν_max=2,82 kT. Para T≫60 000 K, tanto o H quanto o He estão totalmente ionizados, já que a ionização do H ocorre com 13,6 eV, a primeira do He a 24,6 eV e a segunda do He a 54,4 eV. Mas os outros elementos só estão completamente ionizados a temperaturas muito mais altas. Para um átomo hidrogênico de número atômico Z_i, isto é, com só um elétron ligado, a energia de ionização é I=Z_i²(13,6 eV). Portanto para remover o último elétron do oxigênio requer uma energia de 870 eV e, portanto, o O está metade ionizado para T_1/2∼0,1 I/k≃10⁶ K, pela lei de Saha, enquanto o ferro, com Z_Fe=26, requer I=9200 eV, levando a uma temperatura de metade de ionização a T_1/2∼0,1 I/k≃10⁷ K. Por isto a base da zona de convecção do Sol, em r≃=0,71 R_⊙ e T≃2×10⁶ K tem alta opacidade de Fe.

Raio elétron = 2,817 940 3205×10^-15 m
Raio Bohr = 5,291 772 105 44×10^-11 m = 18 782 R_e → σ_B=352 778 σ_e
Raio Fe = 1,26×10^-10 m = 2,38×R_B
velocidade do elétron

Na nossa definição de opacidade, a absorção da radiação quando atravessa uma unidade de massa em uma coluna de área perpendicular unitária e altura ds é dada por:

$dI_\nu = -K_\nu \rho I_\nu ds$

(28)

logo

$K_\nu = \frac{dI_\nu}{I_\nu \rho ds}$

(29)

isto é, a opacidade é a fração absorvida da radiação atravessando uma coluna de altura ds.

A profundidade ótica τ_ν, definida como

$\tau_\nu \equiv \int_{s_0}^s K_\nu \rho ds$

(30)

representa a distância para a qual a intensidade decai de um fator e, e

$\ell \equiv \frac{1}{K_\nu \rho}$

(31)

pode ser interpretado como o livre caminho médio dos fótons.

No núcleo das estrelas, três mecanismos geram a opacidade:

absorção verdadeira
1. transições ligado-ligado (absorção em linhas, excitação)
2. transições ligado-livre (ionização)
3. transições livre-livre (bremstrahlung: um elétron livre no campo de um íon pode absorver ou perder uma quantidade arbitrária de energia, e aumentar ou reduzir sua energia cinética).
espalhamento Thomson [Sir Joseph John Thomson (1856-1940)] de fótons por elétrons livres, clássicos → se o elétron não adquirir velocidade relativística (kT≪m_ec²), chama-se efeito Compton coerente (quântico) [Arthur Holly Compton (1892-1962)]. O termo coerente implica que a reemissão é na mesma frequência da radiação incidente. Se os elétrons forem relativísticos, a reemissão é incoerente. Esse processo, embora não seja uma absorção real, atenua o feixe de radiação, porque o elétron re-irradia, ou espalha, a luz em outra direção.
atenuação com absorção insignificante, devido à dispersão. Por exemplo, reflexão. Essa atenuação é normalmente desprezível, e assumimos o índice de refração μ_ν=1. Essa aproximação não é válida se o plasma for não-transmissivo ou na presença de campo magnético. No caso geral

$K_{\nu}^{real} \equiv \frac{K_\nu}{\mu_\nu}$ (1)

Na região de baixas temperaturas (T ≤ 10 000 K), outros processos físicos são importantes:
absorção por íons negativos;
absorção molecular;

Diagrama dos níveis de energia da molécula H₂. As energias estão medidas a partir do estado fundamental.
espalhamento Rayleigh [Lord Rayleigh, John William Strutt (1842-1919)] (absorção da radiação por uma molécula, indo para um estado excitado e subseqüente reemissão em qualquer direção);
espalhamento Raman [Chandrasekhara Venkata Raman (1888-1970)] (absorção da radiação por uma molécula, indo para um estado excitado e subseqüente emissão de radiação em outra frequência, pois a molécula passa para um outro estado vibracional ou rotacional). A energia de uma molécula, além do valor quântico principal E₀, tem números quânticos rotacionais k e vibracionais v:
$E_{k,v} = E_0 + \frac{\hbar^2}{2I}k(k+1)+\hbar w(v+\frac{1}{2})$
onde I é o momento de inércia e w a frequência angular fundamental de vibração.
foto-excitação para estados auto-ionizantes [se dois elétrons, após absorverem radiação, estão excitados a níveis e com energia de excitação $E_t = E_{i_1}+E_{i_2}$ maior do que a energia de ionização, eles podem fazer uma transição sem emissão de radiação, para um estado de mesma energia total, mas com um elétron removido (ionizado)];
absorção por grãos de poeira.

Para altíssimas temperaturas ( $T \geq 10^9$ K), importantes nos núcleos de estrelas evoluídas:

produção de pares;
espalhamento Compton incoerente (emissão em frequência diferente da incidente) por elétrons relativísticos;
absorção nuclear;
espalhamento fóton-fóton;
processos fóton-neutrinos.

Como os processos de absorção dependem da frequência, e a estrutura da estrela não, normalmente se substitui a opacidade na equação do equilíbrio radiativo (1.51) pela sua média ponderada definida como a opacidade média de Rosseland, pelo norueguês Svein Rosseland (1894-1985) em 1924, de modo que a equação do equilíbrio radiativo seja válida para quantidade integradas sobre a frequência:

${\frac{1}{K_\mathrm{Ross}} = \frac{\int_0^\infty \frac{1}{... ...\sigma T^3}\int_0^\infty \frac{1}{K_\nu}\frac{\partial B_\nu}{\partial T}d\nu.}$

(1.62)

Frequentemente se aproxima a opacidade por uma fórmula do tipo:

$K=K_0\rho^nT^{-s}$

que embora não precisas, servem para estimativas. O caso n=1 e s=3,5, válido para absorção livre-livre em um gás não degenerado em que a maioria dos elementos está completamente ionizado, é chamada de opacidade de Kramers, pois foi derivada classicamente para as opacidades livre-livre e ligado-livre pelo físico holandês Hendrik Anthony Kramers (1894-1952) em 1923 (Philosophical Magazine, 46, 836). Kramers

Para regiões completamente ionizadas, espalhamento Thomson de elétrons livres é dominante, e a opacidade é dada por n=s=0, como veremos a seguir.

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Astronomia e Astrofísica