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Transições Livre-Livre

Um elétron livre não pode absorver um fóton porque a conservação de energia e momentum não podem ser satisfeitas simultaneamente durante o processo, mas se um íon estiver na vizinhança, o acoplamento eletromagnético entre o íon e o elétron transfere momentum e energia entre eles, tornando o processo possível. Portanto, embora trate-se de absorção por um elétron livre, a carga dos íons no meio entra no cálculo da absorção.

Se um elétron de carga e, movendo-se não-relativisticamente, passa por um íon de carga Ze, ele é acelerado, mudando da trajetória O da figura, para E se absorve ou para A se emite um fóton hν, e irradia de acordo com o resultado de Larmor [Sir Joseph Larmor (1857-1942)]:

onde $a(t)$ é a aceleração, que depende do tempo. A aceleração do elétron se dá por interação com o íon, e a energia irradiada, integrada no tempo, será dada por:

onde $s$ é o parâmetro de impacto da trajetória (distância de menor aproximação). A energia irradiada tem um máximo para freqüências angulares de $w\simeq v/s$.

Para as transições livre-livre (desaceleração ou bremstrahlung), a fórmula de Kramers pode ser expressa considerando-se um íon de carga nuclear efetiva $S_{f,i}Z_ie$, em um meio com $dn_e(p)$ elétrons livres por unidade de volume com momenta entre $p$ e $p+dp$, em relação ao íon. O coeficiente de absorção livre-livre ( free-free) por íon, para absorção da radiação de frequência $\nu$ pelos $dn_e$ elétrons livres com momentum no intervalo relevante, é dado pela fórmula de Kramers:

$a'_0(\nu,i,p)dn_e(p) = \frac{4\pi Z_i^2 e^6}{3\sqrt{3}hcm_e^2\nu^3 v(p)} S_{f,i}^2 g_{\mathrm{ff},i}(\nu,p)dn_e(p),$

onde $v(p)$ é a velocidade correspondente ao momentum $p$ e $g_{\mathrm{ff},i}$ é o fator Gaunt para as transições livre-livre. Para que um elétron possa absorver um fóton, é necessário que um íon esteja na vizinhança, para conservar o momentum.

Seja y_eⁱ o número de elétrons livres, por átomo, provenientes de um átomo de carga nuclear Z_ie. Nesse caso,

S_f,i = y_eⁱZ_i

Para hν<kT e maior do que a frequência de plasma

$g_{ff}=\frac{\sqrt{3}}{\pi}\[\ln\frac{(2kT)^\frac{3}{2}} {\pi e^2 \nu m_e^{\frac{1}{2}}}-\frac{5\gamma}{2}]$

onde $\gamma=0,577$ é a constante de Euler [Leonhard Paul Euler (1707-1783)]. Para T em Kelvin, $\nu$ em Hertz,

$g_{ff}=9,77\(1+0,130 \log \frac{T^\frac{3}{2}}{\nu})$

e varia de 1,1 a 1,5 entre $\log T$ variando de 4 a 8,5.

Para obter o coeficiente de absorção livre-livre por átomo, precisamos integrar a equação anterior sobre todos os momenta possíveis. Utilizando a distribuição de momentum de Fermi-Dirac, obtém-se:

$$a_0(\nu,i) \frac{16\pi^2Z_i^2e^6S_{f,i}^2\bar{g}_{{ff},i}(\nu)F} {3\sqrt{3}hc(2\pi m_e)^\frac{3}{2}\nu^3}\frac{n_e}{(kT)^\frac{1}{2}}$$ (1.64)

onde

$F\equiv \frac{2(2\pi m_e kT)^\frac{3}{2}}{h^3n_e}\ln (1_e^{\varepsilon_F}).$

Como um exemplo, para o núcleo do Sol, com $T=10^7$ K, $\rho\simeq 100~{{g/cm^3}}$, ou seja, $n_e \simeq n_H \simeq 6 \times 10^{25}~{{cm^{-3}}}$, para $\lambda=912$ Å, $F\simeq 1$ e $a_{ff} \simeq 2\times 10^{-16}~{{cm^2}}$.

Miguel A. de Avillez e Dieter Breitschwerdt [2018, Temperature-averaged and total free-free Gaunt factors for K and Maxwellian distributions of electrons (Corrigendum), Astronomy & Astrophysics, 620, C1] calculam tabelas do fator de Gaunt livre-livre.

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