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Reações Não-Ressonantes

O raio de um núcleo de massa atômica $A$ pode ser representado por

$$R \simeq 1,44 \times 10^{-13}~A^{1/3}~{cm}$$ (1.69f)

Para uma reação $a+X$,

$$R = 1,44 (A_a^{1/3}+A_X^{1/3})~{fm}$$ (1.69g)

onde fm é um fentometro, também chamado de um fermi, e corresponde a 10^-13 cm.

Para que uma reação nuclear ocorra, as partículas precisam vencer a barreira Coulombiana [Charles Augustin de Coulomb (1736-1806)] repulsiva entre as partículas, dada por

$V = \frac{KZ_1Z_2 e^2}{R}=1,44 \frac{Z_1Z_2}{R(fm)}{MeV}$

enquanto que a energia cinética entre as partículas é determinada por uma distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann correspondente à energia térmica

Para temperaturas da ordem de dezenas a centenas de milhões de graus, a energia média das partículas interagentes são muitas ordens de magnitudes menores do que a barreira Coulombiana que as separa. As reações ocorrem pelo efeito de tunelamento quântico, proposto em 1928 pelo físico russo-americano George Antonovich Gamow (1904-1968). As partículas com maior chance de penetrar a barreira são aquelas com a máxima energia na distribuição de Maxwell-Boltzmann:

$$\phi(v)dv=\left(\frac{\mu}{2\pi kT}\right)^\frac{3}{2} \exp \left(-\frac{\mu v^2}{2kT}\right)4\pi v^2dv,$$ (1.70)

onde $\mu$ é a massa reduzida das partículas $a$ e $X$. Entretanto, a distribuição de Maxwell-Boltzmann mostra que o número de pares de partículas com energia muito acima de $kT$ decresce rapidamente com a energia. George Gamow foi o primeiro a demonstrar que a probabilidade de duas partículas de carga $Z_1$ e $Z_2$, movendo-se com velocidade relativa $v$, penetrar sua repulsão eletrostática é proporcional ao fator

$$\propto \exp (-\frac{V}{E_{cinetica}}) \propto \exp \left(-\frac{2 Z_1 Z_2e^2}{hv})$$ (1.71)

já que

$E_{cinetica} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv\frac{p}{m}= \frac{h v}{2r}$

pelo Princípio da Incerteza $p r\simeq h$.

As seções de choque para reações nucleares serão proporcionais a esse fator, pois as reações dificilmente podem ocorrer se as partículas não penetrarem essa barreira. Esse fator de penetração pode ser obtido pelo método WKB [Gregor Wentzel (1898-1978), Hendrik Anthony Kramers (1894-1952) e Marcel Louis Brillouin (1854-1948)], válido para o caso de energia da barreira muito maior do que a energia média das partículas. O fator dentro da exponencial chama-se fator de Sommerfeld [Arnold Johannes Wilhelm Sommerfeld (1868-1951)].

$$\propto \exp \left(-\frac{2\pi Z_1 Z_2e^2}{\hbar v}\right)$$ (1.71a)

Considerando níveis de energia espaçados pelo comprimento de onda de de Broglie, a interação entre duas partículas também é proporcional ao fator quantum-geométrico (seção de choque, cross-section) $\pi \lambda^2$, onde $\lambda$ é o comprimento de onda de de Broglie:

$$\pi\lambda^2 = \pi(\frac{h}{p})^2=\frac{\pi h}{2Em} \propto \frac{1}{E}$$ (1.72)

Para um parâmetro de aproximação (distância mínima) $s$, o momentum angular quantizado é $sp=\ell \hbar$, e a seção de choque passando de um estado $\ell$ para $(\ell+1)$ é dada pela diferença de área equivalente à zona de interação

$$\sigma_{\ell,\ell+1} = \pi (s^2_{\ell+1}-s^2_\ell) = \pi\lambda^2(2\ell+1)$$ (1.72a)

Para dois núcleos tunelarem pela barreira de Coulomb, sua separação deve ser menor ou da ordem do comprimento de de Broglie, para que suas funções de onda se sobreponham.

Gamow mostrou que, para r ≤ λ_dB,

que para o ciclo p-p, a energia de Gamow equivale a E_G=0,49 MeV, e para um par de α, E_G=31,3 MeV. Para uma energia térmica do núcleo do Sol E≃2 keV, a probabilidade de tunelamento, ou penetração, para próton-próton é e^-15,7≃10^-7.

Vamos escrever energia de Gamow como E_G≡ 1/√b. Em baixa energia, tanto (1.71) quanto (1.72) variam rapidamente com a energia. Com essas motivações, definimos a seção de choque a baixas energias como um produto de três fatores dependentes da energia:

$$\sigma(E) \equiv \frac{S(E)}{E}\exp (-\frac{2\pi Z_1 Z_2e^2}{\hbar v})$$ (1.73)

$\sigma(E)=\frac{S(E)}{E}\exp (-bE^{-\frac{1}{2}})$

onde

$b=31,28 Z_1 Z_2 A^{\frac{1}{2}}{keV^{\frac{1}{2}}}$

e A é o peso atômico reduzido

$A \equiv \frac{A_1A_2}{A_1+A_2}.$

O fator S(E) representa a parte nuclear da probabilidade de ocorrência da reação, enquanto os outros dois fatores representam dependências não-nucleares, bem conhecidas. O fator S(E) é normalmente constante ou fracamente dependente da energia sobre uma faixa limitada de energias, se a reação é não ressonante. Tem dimensão de energia vezes área, e é frequentemente dado em unidades de keV barn=1,60×10^-33 ergs cm². Este fator foi definido por Edwin Salpeter (1924-2008) em 1952.

A distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann pode ser escrita em termos da distribuição de energia:

$$\psi(E)dE = \phi(v)dv = - \frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{E}{kT} \exp \left(-\frac{E}{kT}\right)\frac{dE}{\left(kTE\right)^\frac{1}{2}}$$ (1.74)

e

$$<\sigma v> = (\frac{8}{\mu \pi})^\frac{1}{... ...ac{3}{2}}\int_0^\infty S(E)\exp \left(-\frac{E}{kT}-bE^{-\frac{1}{2}})dE$$ (1.75)

O fator $\exp(-E/kT)$ decresce para altas energias, enquanto que o fator $\exp\left(-bE^{-\frac{1}{2}}\right)$ decresce para baixas energias. As reações são mais efetivas para uma energia $E_0$ determinada pelo máximo do integrando:

$\frac{d}{dE}\left(\frac{E}{kT}+bE^{-\frac{1}{2}}\right)_{E=E_0} = \frac{1}{kT}-\frac{1}{2}bE_0^{-\frac{3}{2}}=0$

ou

$$E_0 = (\frac{bkT}{2})^\frac{2}{3} = 1,220 (Z_1^2Z_2^2AT_6^2){keV}$$ (1.76)

onde T₆ é a temperatura em milhões de graus Kelvin, e E₀ é chamada de energia efetiva para a reação nuclear. Pela equação (1.76), podemos calcular que a energia efetiva para a reação nuclear para partículas leves e temperaturas de algumas dezenas de milhões de graus, obtendo E₀≃10 a 30 keV, enquanto que a energia térmica é de kT = 0,086T₆ keV, refletindo o fato que a penetração da barreira Coulombiana favorece as partículas de alta energia da distribuição de Maxwell-Boltzmann.

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