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Polítropos

As equações de estabilidade podem ser resolvidas numericamente, mas vamos tratar aqui de modelos analíticos. Polítropos são modelos para os casos em que a pressão em todos os pontos da estrela pode ser escrita como uma função que depende somente da densidade. Nestes casos específicos, como para gases degenerados, podemos calcular analiticamente as relações entre pressão, massa e raio, sem necessitar explicitar a geração e o transporte de energia. Os polítropos são adequados para situações especiais, como no caso de anãs brancas e estrelas completamente convectivas, como no Ramo Gigante e Supergigante.

Em 1920, quando a geração de energia do Sol ainda não era bem entendida, Arthur Stanley Eddigton (1862-1940) notou que uma aproximação politrópica poderia dar uma idéia da densidade e pressão dentro do Sol. (Arthur S. Eddington, 1930, The Internal Constitution of the Stars, p. 188), Quando vamos calcular modelos estelares, necessitamos de valores iniciais de pressão central, temperatura central, e raio estelar, por exemplo. Como podemos estimar estes valores? Em geral usam-se modelos de polítropos para estes valores iniciais.

Quando discutimos a equação de estado de um gás completamente degenerado, não-relativístico, obtivemos:

$ P_e = 1,004 \times 10^{13}(\frac{\rho}{\mu_e})^{\frac{5}{3}} \,{dina/cm^2}$ (1)
que é uma lei de potência com $ P \propto (\rho/\mu_e)^{5/3}$.

Outra situação é para uma estrela completamente convectiva, com $\nabla=\nabla_{\mathrm{ad}}=\frac{\Gamma_2-1}{\Gamma_2}$. Como $ d\ln P = dP/P$ e

$\nabla \equiv \frac{d\ln T}{d\ln P}$ (2)
Integrando-se, obtemos
$ P(r) \propto T^{\Gamma_2/(\Gamma_2-1)}(r)$ (3)
Se o gás for ideal, $ T\propto P/\rho$ e portanto $ P(r) \propto \rho^{\Gamma_2}(r)$.

Como nesses exemplos, se a pressão em todos os pontos da estrela puder ser escrita como uma função da densidade somente, $ P=P(\rho)$, então a estrutura da estrela depende somente das equações de equilíbrio hidrostático e continuidade da massa. Em particular, se a pressão em todos os pontos do interior estelar satisfizer a relação

$ {P = K\rho^{(n+1)/n}}$ (4)
com K e n constantes, a configuração é chamada de um polítropo.

Para um gás ideal, $ \Gamma_2=5/3$, e $ P(r) \propto \rho^{\Gamma_2}(r)$ de uma estrela completamente convectiva nos dá

$frac{n+1}{n}=\frac{5}{3}\longrightarrow n=\frac{3}{2}$
Note que este é o mesmo expoente do gás completamente degenerado, não relativístico.

As equações de equilíbrio hidrostático e continuidade da massa podem ser reduzidas a uma equação diferencial de segunda ordem, dividindo-se a equação de equilíbrio hidrostático por $ \rho$, multiplique por $ r^2$ e, então, derivando-se em relação a $ r$ os dois lados:

$ \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}(\frac{r^2}{\rho}\frac{dP}{dr}) = -4\pi G\rho$ (5)
que é a equação de Poisson.

Se definirmos variáveis adimensionais

$ \rho(r) \equiv \rho_c \theta^n(r)$ (6)
e
$ r \equiv a\xi$ (7)
onde $ \rho_c=\rho(r=0)$ é a densidade central e a constante $ a$ dada pela equação
$ a = [\frac{(n+1)K\rho_c^{(1/n-1)}}{4\pi G}]^\frac{1}{2}$ (8)
a equação de Poisson (equação 5) pode ser escrita como
$ \frac{1}{\xi^2}\frac{d}{d\xi}(\xi^2\frac{d\theta}{d\xi})=-\theta^n$ (9)
Essa equação é chamada de equação de Lane-Emden, em honra ao físico americano Jonathan Homer Lane (1819-1880), que derivou a equação do equilíbrio hidrostático em 1869 e ao físico suíço Robert Emden (1862-1940). Modelos correspondentes às soluções dessa equação, para um certo valor de n, são chamados de polítropos de índice n. A pressão será dada por
$ P(r) = K\rho_c^{1+1/n}\,\theta^{1+n} = P_c \theta^{1+n}$ (10)
Se a equação de estado do material for a de um gás ideal, com
$ P = \frac{\rho}{\mu}N_AkT$ (11)
então
$ P(r) = K' T^{n+1}(r)$ (12)
e
$ T(r) = T_c\theta(r)$ (13)
com
$ K' = (\frac{N_Ak}{\mu})^{n+1}K^{-n}$ (14)
e
$ T_c = K\rho_c^{1/n}(\frac{N_Ak}{\mu})^{-1}$ (15)
Portanto, para um polítropo com equação de estado de gás ideal e peso molecular μ constante, θ mede a temperatura. Finalmente, nesse caso, o fator de escala radial é dado por
$ a^2 = (\frac{N_Ak}{\mu})^2 \frac{(n+1)T_c^2}{4\pi G P_c} = \frac{(n+1)K\rho_c^{1/n-1}}{4\pi G}$ (16)
As condições de contorno $ \rho(r=0)=\rho_c$ e $ dP/dr=0$ para $ r=0$ se traduzem em $ \theta(\xi=0)=1$ e $ \theta'(0)\equiv d\theta/d\xi=0$. Se o índice politrópico $ n$ e a densidade central $ \rho_c$ forem dados, podemos integrar a equação de Lane-Emden (equação 9) numericamente do centro até uma distância $ r=R$ onde $ P=0$. Todas soluções da equação de Lane-Emden têm θ caindo a zero em algum valor finito de ξ=ξ1. Este valor, ξ1, pode ser convertido ao raio da estrela pela relação R*=anξ1, onde escrevemos a=an para ressaltar que a é diferente para n diferente. Chamando portanto $ \xi_1$ a variável radial onde $ \theta(\xi_1)=0$ para $ r=R$, obtemos para o valor do raio $ R$:
$ R = a\xi_1 = [\frac{(n+1)P_c}{4\pi G \rho^2_c}]^\frac{1}{2} \xi_1$ (17)

Dessa forma, especificando K, n e ρ, ou Pc, obtemos o raio R.

Politropos Solução analíticas existem para n=0, 1 e 5. Soluções numéricas precisam ser obtidas para um valor de n geral. A solução para n=0 corresponde a uma esfera de densidade constante, e

$ \theta_0(\xi) = 1 - \frac{\xi^2}{6}$ (18)
com $ \xi_1 = \sqrt{6}$. Nesse caso
$P_c = \frac{3}{8\pi}\frac{GM^2}{R^4}$ (19)
Para n=1 a solução $\theta_1$ é a função sinc
$\theta_1(\xi) = \frac{{sen}\,\xi}{\xi}$ (20)
com $ \xi_1 = \pi$. A densidade é dada por $ \rho=\rho_c \theta$ e a pressão por $ P = P_c \theta^2$.

O polítropo para n=5 tem uma densidade central finita, mas o raio é ilimitado

$ \theta_5(\xi) = [1+\xi^2/3]^{-\frac{1}{2}}$ (21)
com $\xi_1 arrow \infty$. Apesar de ter raio infinito, o polítropo contêm uma quantidade de massa finita. As soluções com $ n>5$ também são infinitas em raio, mas contém também massa infinita. O intervalo de interesse, portanto, está limitado para $ 0 \leq n \leq 5$.

A massa contida em uma esfera de raio r pode ser obtida pela equação da continuidade da massa

$ dM_r = 4\pi r^2 \rho dr$ (22)
Em termos de $ \xi$, obtemos
$ M_\xi = 4\pi a^3 \rho_c \int_0^\xi \xi^2\theta^n d\xi$ (23)
Pela equação de Lane-Emden (equação 9), podemos substituir $ \theta^n$ por
$\theta^n = - \frac{1}{\xi^2}\frac{d}{d\xi}(\xi^2\frac{d\theta}{d\xi})$ (24)
eliminando o fator $ \xi^2$ e a própria integral, obtendo
$ M_\xi = 4\pi a^3 \rho_c (-\xi^2\theta')_\xi$ (25)
onde $ (-\xi^2\theta')_\xi$ significa calcular $ (-\xi^2d\theta/d\xi)$ no ponto $ \xi$. A massa total é dada por $ M=M(\xi_1)$ e
$M = \frac{1}{\sqrt{4\pi}}(\frac{n+1}{G})^\frac{3}{2}\frac{P_c^{3/2}} {\rho_c^2}(-\xi^2\theta')_{\xi_1}$ (26)
Com alguma álgebra, pode-se chegar a
$ P_c$ $ =$ $ \frac{1}{4\pi(n+1)(\theta')^2_{\xi_1}}\frac{GM^2}{R^4}$ (27)
  $ =$ $ \frac{8,952\times 10^{14}}{(n+1)(\theta')^2_{\xi_1} } (\frac{M}{M_\odot})^2 (\frac{R}{R_\odot})^{-4}\, {dina/cm^2}$ (28)
Se a equação de estado for de um gás ideal
$ T_c$ $ =$ $ \frac{1}{(n+1)(-\xi\theta')_{\xi_1}} \frac{G\mu}{N_Ak}\frac{M}{R}$ (29)
  $ =$ $ \frac{2,293 \times 10^7}{(n+1)(-\xi\theta')_{\xi_1}} \mu(\frac{M}{M_\odot})(\frac{R_\odot}{R}) \,{K}$ (30)
Para cada valor de $ n$, podemos obter $ K$ em função de $ M$ e $ R$:
$ K = [\frac{4\pi}{\xi^{n+1} (-\theta')^{n-1}}]^{\frac{1}{n}}_{\xi_1} \frac{G}{n+1}M^{1-1/n}R^{-1+3/n}$ (31)
Note que se n=3, $ K$ depende somente de $ M$.

Uma outra quantidade útil é a densidade média

$ \frac{\rho_c}{\langle \rho \rangle} = \frac{1}{3} (\frac{\xi}{-\theta'})_{\xi_1}$ (32)
Os valores de $ n$ que nos interessam são n=3/2, para o caso de um gás completamente degenerado mas não relativístico, $ P_e \propto \rho^{5/3}$, que também é o caso de um gás ideal completamente convectivo, e $ n=3$ para um gás totalmente relativístico $ P_e \propto \rho^{4/3}$.

As soluções numéricas nestes casos estão listados na Tabela (1).

Tabela 1: Resultados para polítropos com n=0 a 4,5, com Θn=ξ12(dθ/dξ).
nξ1Θnρc/⟨ρ⟩Γ2
02,449494,898981,0
13,141593,141593,289872,0
1,53,653752,714065,990715/3
24,352872,4110511,402543/2
36,896852,0182454,18254/3
414,971551,79723622,408
4,531,83651,737806189,47

n=1,5, Γ2=5/3 é adequado para gás monoatômico ideal, completamente convectivo, ou degenerado não relativístico.
n=3,0, Γ2=4/3 é adequado para modelo padrão de Eddington, ou degenerado ultra relativístico.
Note que, para polítropos, o n e o Γ2 se referem a toda a estrela e não ao índice local.
table263
Comparação com modelo do Sol
Um polítropo com a massa e o raio do Sol e n=3 tem ρc=7.65×104 kg/m3 e Pc=1.25×1016 N/m2, enquanto um modelo do Sol tem ρc=1.52×105 kg/m3 e Pc=2.34×1016 N/m2. Exceto para o envelope convectivo, um polítropo com n=3 é uma representação razoável do interior do Sol, e era chamado de modelo padrão de Eddington.

Aplicações para Anãs Brancas

Um gás completamente degenerado mas não-relativístico pode ser representado por um polítropo de ordem $ n=3/2$. Além disso, a comparação da relação entre pressão e densidade de um polítropo (equação 4) com a equação da pressão degenerada não-relativística (equação 1) mostra que
$ K = \frac{1,004 \times 10^{13}}{\mu_e^{5/3}}$ (33)
Como o valor da constante K dado pela equação (31), com o valor do coeficiente θ′ dado pela Tabela (1), obtemos
$K=2,477\times 10^{14}(\frac{M}{M_\odot})^\frac{1}{3}(\frac{R}{R_\odot})$ (34)
Substuindo (33) em (34) obtemos a relação massa-raio das anãs brancas:
${\frac{M}{M_\odot}=2,08\times 10^{-6}(\frac{2}{\mu_e})^5(\frac{R}{R_\odot})^{-3}}$ (35)
Vemos que para um gás completamente degenerado mas nao relativistico, o raio é menor quanto maior for a massa e, pelo princípio da incerteza, maior é a velocidade dos elétrons.

Para o limite completamente degenerado e relativístico, encontramos

$ P_e = 1,243x10^{15}(\frac{\rho}{\mu_e})^{4/3} {dina/cm^2}$ (36)
Portanto, trata-se de um polítropo com $n=3$. Usando a constante K dada pela equação (31), com o valor do coeficiente θ′ dado pela Tabela (1) nos dá
$K =\frac{1,243\times 10^{15}}{\mu_e^{4/3}}=3,841\times 10^{14}(\frac{M}{M_\odot})^\frac{2}{3}$ (37)
ou
$ {M_{Chand} = 1,456 (\frac{2}{\mu_e})^2 M_\odot}$ (38)
que é a massa limite de Chandrasekhar, a maior massa que uma anã branca pode alcançar, pois neste caso a velocidade dos elétrons é igual à velocidade da luz!

Limite de Eddington

Para estrelas de altíssima massa, a pressão de radiação domina. Calculemos quando a pressão de radiação é igual à gravidade local; para qualquer valor de radiação acima desse limite, não haverá equilíbrio hidrostático, havendo excessiva perda de massa.

Pela equação do equilíbrio hidrostático, substituindo a pressão total pela pressão de radiação:

$ - \frac{dP_{rad}}{dr} = g_s \rho$ (39)
A equação do transporte radiativo é dada por
$ L_r = -4\pi r^2 \frac{4ac}{3}\frac{T^3}{K\rho}\frac{dT}{dr}$ (40)
e a pressão de radiação por
$ P_{rad} = \frac{1}{3}aT^4$ (41)
Portanto, derivando a equação (41) em relação a $ r$, obtemos
$ \frac{dP_{rad}}{dr} = \frac{4}{3}aT^3\frac{dT}{dr}$ (42)
ou seja, podemos escrever a equação (40) como
$ L_r = -4\pi r^2 \frac{c}{K\rho}\frac{dP_{rad}}{dr}$ (43)
Substituindo o último termo pela equação (39), obtemos
$ L_r = 4\pi r^2 \frac{c}{K}g_s = 4\pi r^2 \frac{c}{K}\frac{GM}{r^2}$ (44)
chegando-se ao limite de Eddington, que representa a maior luminosidade que uma estrela de massa $ M$ pode ter em equilíbrio hidrostático:
$ {L_{Edd} = \frac{4\pi cGM}{K}}$ (45)
Como para altas temperaturas a opacidade K é dominada pelo espalhamento de elétrons, $K=K_e= 0,2(1+X){cm^2/g}$, podemos estimar, para X=0,7:
$ {\frac{L_{Edd}}{L_\odot} \simeq 3,5 \times 10^4 (\frac{M}{M_\odot})}$ (46)
Na verdade, se a luminosidade for alguns décimos da luminosidade de Eddington, a pressão de radiação será tão intensa que haverá perda de massa significativa.

Se dividirmos a relação entre a massa e a luminosidade na seqüência principal

$ \frac{L}{L_\odot} \simeq (\frac{M}{M_\odot})^3$
pela equação (46) obtemos
$\frac{L}{L_{Edd}}\simeq \frac{1}{3,5\times 10^4}(\frac{M}{M_\odot})^2$
ou seja
$ L=L_{Edd}$ para$ \quad M=\sqrt{3,5 \times 10^4} M_\odot \simeq 187 M_\odot$
Esta é a maior massa para uma estrela na sequência principal. Sir Arthur Stanley Eddington (1882-1944) (1929, A Constituição Interna das Estrelas), já propôs que as estrelas acima de uma certa massa sofreriam pulsações que as tornariam instáveis, limitando suas massas.

O limite derivado acima, com a opacidade dada por espalhamento de elétrons, é maior do que o observado, pois o vento é dominado pela opacidade das linhas metálicas [Henny J.G.L.M. Lamers (1941-) & Edward L. Fitzpatrick, 1988, Astrophysical Journal, 324, 279].

Definindo β=Pgás/P, P=Pgás+Prad, β=1-Prad/P,

Modelo padrão de Eddington, n=3, e peso molecular μ.
μ2M/M⊙β
1,00,9970
2,00,9885
5,00,9412
10,00,8463
40,00,5066
É interessante notar que embora as estrelas tipo O sejam intrínsecamente mais luminosas, como a maior parte da radiação é emitida no ultravioleta, as estrelas A7 supergiantes são mais luminosas no visível. Note também que durante a seqüência principal, o vento de uma estrela de 100 M⊙ contribui cerca de 2×1051 ergs, mais do que os cerca de 1051 ergs despejados no meio interestelar por uma supernova tipo II.

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