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Degenerescência Total Não-Relativística

Se a energia associada ao momentum p₀ for muito menor do que a energia de repouso do elétron, m_ec²=0,51 MeV, então v_e=p/m_e para todos os momenta na distribuição, e a integral da pressão (1.7) é diretamente:

$$P_{e,nr} = \frac{8\pi}{15m_eh^3}p_0^5$$ (1.13)

onde nr significa elétrons não-relativísticos. Usando a relação entre o momentum total e a densidade de elétrons (1.12),

$$p_0 = (\frac{3h^3}{8\pi}n_e)^\frac{1}{3}$$ (1.12)

demonstramos que a pressão de elétrons é determinada pela densidade de elétrons:

$$\boxed {P_{e,nr} = \frac{h^2}{20m_e}\left(\frac{3}{\pi}\right)^\frac{2}{3} n_e^\frac{5}{3}}$$ (1.14)

Podemos expressar a densidade de elétrons em termos da densidade de massa [veja eq. (1.61)]

$$P_{e,nr} = \frac{h^2}{20m_e}\left(\frac{3}{\pi}\right)^\frac{2}{3} N_A^\frac{5}{3}\left(\frac{\rho}{\mu_e}\right)^\frac{5}{3}\cr$$ (1.15)

onde μ_e aqui é o peso molecular médio por elétron, ou seja, o número médio de massas atômicas (A) por elétron:

$\frac{1}{\mu_e} = \sum \frac{X_ZZ}{A_Z}$

e

$n_e = \frac{\rho N_A}{\mu_e}$

onde N_A é o número de Avogadro [Amedeo Avogadro (1776-1856)]. Normalmente μ_e≃2, a não ser que o gás contenha uma fração substancial de hidrogênio, o que não é geralmente o caso para estrelas pois o estado degenerado é atingido no núcleo de estrelas que já queimaram o hidrogênio, e os núcleos de anãs brancas são predominantemente compostos de He, C, O, ou Ne, todos com A/Z=2. Mas para os interiores de planetas gigantes e anãs marrons, onde também há degenerescência, o hidrogênio é dominante.

Note que a pressão degenerada e não relativística dada pela equação (1.15) não depende da temperatura e, portanto, um aumento da temperatura não causa um aumento da pressão, e subsequente expansão, que reduziria a temperatura. Este fato tem implicações na história evolutiva das estrelas, desde a queima explosiva do hélio até a explosão de supernova, como veremos no decorrer desta discussão de Evolução Estelar.

Como a pressão degenerada não depende da temperatura, ela permite a existência de equilíbrio hidrostático para objetos frios, como anãs marrons, anãs brancas e estrelas de nêutrons. Estes objetos não se contraem ou expandem quando a temperatura muda, mesmo quando alguma reação nuclear se inicia, aumentando a temperatura. O fato das partículas ocuparem níveis mais altos, com maior momentum - velocidade -, aumenta seu livre caminho médio, tornando a condução térmica eficiente e reduzindo os gradientes de temperatura.

Vemos pela equação (1.15) que a pressão de um gás de elétrons degenerado aumenta como uma potência 5/3 da densidade. Como para um gás não degenerado a pressão aumenta linearmente com a densidade, P=NkT, é claro que, com o aumento de densidade, existe um ponto em que a pressão degenerada será maior do que o valor dado pela fórmula não degenerada. Podemos definir uma linha no plano ρT dividindo a região degenerada da não-degenerada, calculando-se os valores para os quais as duas fórmulas são iguais:

ou seja, a pressão completamente degenerada supera a pressão não-degenerada para densidades maiores do que

$\frac{\rho}{\mu_e} > 2,4 \times 10^{-8} T^\frac{3}{2}~{g/cm^3}$

Naturalmente a transição de não-degenerado para degenerado não ocorre abruptamente, mas sim suavemente. Na região de transição, precisamos utilizar a equação que discutiremos na seção de degenerescência parcial. Para o interior do Sol, onde ρ/μ_e≃10² g/cm³ e T≃10⁷ K, a inequalidade mostra que o gás está completamente não-degenerado. Para o interior de uma anã-branca onde ρ/μ_e≃10⁶ g/cm³ e T≃10⁶ K, a inequalidade se satisfaz, e a pressão degenerada domina.

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