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Características da Convecção no Interior Estelar

Com a ajuda de nossas estimativas numéricas anteriores, podemos estimar o movimentos que ocorrem em uma zona convectiva no interior estelar. Para o excesso de temperatura médio, ou deficiência dentro de um elemento em movimento em relação ao meio circundante, encontramos:

$$\overline{dT}=\Delta\nabla T \overline{dr} \approx 1^\circ {\rm K}.$$

Esta é realmente uma flutuação pequena em comparação com a temperatura média de vários milhões de graus. A velocidade média do elemento em movimento pode ser calculada da equação de energia cinética (1.57):

$v \approx 3 \times 10^3{cm/s} = 0,03 {km/s}$

Novamente, as velocidades são muito baixas comparadas com as velocidades térmicas, que são de centenas de km por segundo no interior estelar [v_térmica^H (T=10 milhões K)= 11 km/s]. Como as velocidades convectivas são muito menores que as velocidades térmicas, por cerca de quatro ordens de magnitude, os efeitos hidrodinâmicos dos movimentos convectivos são cerca de oito ordens de magnitude menores do que a pressão do gás. A convecção é portanto subsônica, e a pressão turbulenta menor do que a pressão total. Se as velocidades convectivas se tornarem supersônicas, as hipóteses básicas da teoria de mistura, a aproximação considerada, do francês Joseph Boussinesq (1842-1929), estão violadas. A aproximação Boussinesq em geral funciona bem em laboratório, onde a escala de profundidade é comparável com a escala do experimento, o que não é o caso nas estrelas. Esta conclusão é muito importante, porque justifica nossa hipótese intrínseca de que os movimentos convectivos não perturbam o equilíbrio hidrostático.

Podemos então calcular o tempo de vida médio de um elemento de turbulência:

$$t \approx \frac{\ell}{v} \approx 2 \times 10^6\,{\rm s} = 20\,{\rm dias}.$$

Este tempo é longo do ponto de vista de turbulência, mas é extremamente curto comparado a escala de tempo de evolução estelar. Desta maneira, a zona de convecção deve ser muito bem misturada. Desta maneira, quando as reações nucleares mudam a composição química nas partes mais quentes de uma zona de convecção, estas mudanças são aparentes, por mistura turbulenta, em todas as partes da zona de convecção, em um tempo muito curto.

Para a convecção nas camadas externas do Sol, pode-se obter $\Delta \nabla T \leq 9 \times 10^{-5}~{K/cm}$ e $\ell \simeq 200$ km, de modo que $dT \simeq \ell \Delta \nabla T \simeq 1800$ K.

Um exemplo da existência da zona de convecção interior pode ser obtido examinando-se uma estrela de população I, isto é, do disco da nossa galáxia, com X=0,7 e Z=0,03, e 30 $M_\odot$. Essa estrela terá uma temperatura central de $T_c = 3,6 \times 10^7$ K, uma densidade central de $\rho_c = 3~{g/cm^3}$, luminosidade total de $L=5,51 \times 10^{38}$ ergs/s e raio $R=4,6 \times 10^{11}$ cm. Para manter essa luminosidade, a estrela terá uma taxa de produção de energia central de $\varepsilon_c \simeq 2 \times 10^5~{ergs\,g^{-1}\,s^{-1}}$, e a opacidade será dominada por espalhamento de elétrons, como veremos na próxima seção, com $K \simeq 0,34~{cm^2/g}$. A pressão total pode ser calculada como $P_c \simeq 1,88 \times 10^{16}~{dina/cm^2}$, incluindo-se a pressão de radiação, sendo que a pressão do gás contribui com 77,5% da pressão total. Para essas condições $\Gamma_2 = 1,41$, logo $\nabla_{ad}=0,29$, e $\nabla_{rad} = 3,0$. Portanto $\nabla_{rad} > \nabla_{ad}$, comprovando que existe uma zona de convecção central. Podemos calcular, para essas condições,

Se assumirmos, para simplificar, $\ell\simeq R$, e para a gravidade $g(M_r=0,1M) \simeq 1,4 \times 10^4~{cm/s^2}$, obteremos $\Delta \nabla T \simeq 5 \times 10^{-7}$, e $L_{rad}/L_{total} \simeq 0,1$, isto é, a convecção transporta 90% do fluxo total. Na seqüência principal, as estrelas com $T_{ef} \leq 8000~K$ têm zona de convecção superficial eficiente.

Ionização nas camadas externas do Sol e seu efeito do gradiente adiabático.

Sumarizando, os movimentos em uma zona de convecção são turbulentos, mas tão lentos que não têm qualquer efeito hidrodinâmico. Os movimentos convectivos são altamente eficientes no transporte de energia devido ao alto conteúdo em energia térmica dos gases no interior estelar. A mistura turbulenta é tão rápida que as zonas convectivas são praticamente homogêneas a todo tempo.

Do ponto de vista da construção de modelos estelares, podemos extrair a seguinte receita. Em cada camada do modelo,

• calcule o gradiente de pressão da condição de equilíbrio hidrostático (1.24), e
• o gradiente de temperatura da equação de equilíbrio radiativo (1.51).
  $\frac{dT}{dr}= -\frac{3L_rK\rho}{4\pi r^2 4acT^3}$
• Introduza estes valores na condição de estabilidade de Schwarzschild (1.53). Se a condição é satisfeita, convecção não ocorre e o gradiente de temperatura calculado pela equação de equilíbrio radiativo (1.51) é o correto.
• Se a condição de estabilidade de Schwarzschild (1.53) não é satisfeita, convecção ocorre e o gradiente calculado na equação de equilíbrio radiativo (1.51) não pode ser usado. Use o gradiente adiabático dado pela equação (1.60), que tem precisão suficiente.

No artigo de 2015, The Stagger-grid: A grid of 3D stellar atmosphere models III. The relation to mixing length convection theory, publicado no Astronomy & Astrophysics, 573, A89, Zazralt Magic, Achim Weiss e Martin Asplund comparam resultados de 1-dimensão calculados com a teoria de comprimento de mistura (MLT) com modelos tri-dimensionais, e obtém que modelos com α_Sol=1,98 na base da zona de convecção para o Sol são similares, mas que α varia entre 1,7 e 2,4 para diferentes massas e temperaturas, decrescendo para temperaturas mais altas.

No arXiv:1503.00342, Beyond mixing-length theory: A step toward 321D, W. David Arnett, Casey Meakin, Maxime Viallet, Simon W. Campbell, John Lattanzio & Mirolslav Mocak, apresentam algoritmos para substituir a MLT por algoritmos baseados na solução das equações de tridimensionais e dependentes do tempo.

Derivamos portanto as condições de equilíbrio necessárias para calcular modelos de interiores estelares. As equações contém relações entre pressão, densidade e temperatura. Precisamos de uma equação de estado para relacionar as três variáveis.

A opacidade é um fator decisivo na equação de equilíbrio radiativo; precisamos conhecer a opacidade em função da temperatura e da densidade. A equação básica de equilíbrio térmico requer o conhecimento das taxas de produção de energia por reações nucleares para as várias condições de temperatura e densidade.

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