A equação da energia

Podemos deduzir a equação da energia calculando-se o valor do momentum angular e da energia no periélio, já que são constantes. No periélio:

r_p = a(1 - e),

h = r_pv_p,

já que, neste ponto, $\vec{r}$ _p e $\vec{v}$ _p são perpendiculares entre si. Para a energia (2), temos:

$\epsilon$ = ${v^2 \over 2}$ - ${\mu \over r}$ = ${h^2 \over 2 r_p^2}$ - ${\mu \over r_p}$ = ${1 \over r_p}$ $\left(\vphantom{ {h^2 \over 2r_p} - \mu}\right.$ ${h^2 \over 2r_p}$ - $\mu$ $\left.\vphantom{ {h^2 \over 2r_p} - \mu}\right)$ .

Por outro lado, da definição do semi-lactus rectum p, temos

$h^2=\mu p=\mu a(1-e^2)$

Substituindo-se h e r_p em ε, temos:

$\epsilon$ = ${1 \over a(1-e)}$ $\biggl[$ ${\mu\,a(1-e^2) \over 2a(1-e)}$ - $\mu$ $\biggr]$ = ${\mu \over a(1-e)}$ $\biggl[$ ${(1+e) \over 2}$ - 1 $\biggr]$ ,

pois (1 - e)(1 + e) = 1 - e²,

$\epsilon$ = ${\mu \over 2a}$ $\biggl[$ ${(1 +e -2) \over (1-e)}$ $\biggr]$ = - ${\mu \over 2a}$ ${(1-e) \over (1-e)}$ ,

$\epsilon= - {\mu \over 2a}}$

que é válido para qualquer órbita cônica e mostra que o semi-eixo maior da órbita só depende da energia do sistema.

ε < 0 → a > 0 elipse

ε = 0 → a = ∞ parábola

ε > 0 → a < 0 hipérbole

Vamos agora calcular a velocidade em qualquer ponto da órbita. Da definição de semi-lactus rectum p,

p = ${h^2 \over \mu}$ = a(1 - e²) $\Rightarrow$ a = ${h^2/\mu \over (1-e^2)}$ .

Como a energia é definida por (8),

$\epsilon$ = - ${\mu \over 2a}$ = - ${\mu^2(1-e^2) \over 2h^2}$ .

Escrevendo a excentricidade em termos da energia:

$-\frac{2h^2\epsilon}{\mu^2} = 1-e^2 \Rightarrow e^2 = 1+ \frac{2h^2\epsilon}{\mu^2}$

e = $\sqrt{1 + {2h^2\epsilon\over \mu^2}}$ .

Logo, se:

$\epsilon$ < 0 $\Rightarrow$ e < 1 $\eqno$ elipse

$\epsilon$ = 0 $\Rightarrow$ e = 1 $\eqno$ parábola

$\epsilon$ > 0 $\Rightarrow$ e > 1 $\eqno$ hipérbole.

Das equações (2) e (8), vemos que

$\epsilon$ = - ${\mu \over 2a}$ = ${v^2 \over 2}$ - ${\mu \over r}$ ,

logo

${v = \sqrt{\mu\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}}$

que é a equação da velocidade do sistema em qualquer ponto r da órbita.

Astronomia e Astrofísica

[*]

[*]

[*]

Próxima: Velocidade Circular Volta: Leis de Kepler Generalizadas Anterior: Terceira lei de Kepler: Lei harmônica

©
Modificada em 8 abril 2000