A equação da energia

Podemos deduzir a equação da energia calculando-se o valor do momentum angular e da energia no periélio, já que são constantes. No periélio:

rp = a(1 - e),
h = rpvp,
já que, neste ponto, \vec{r}p e $ \vec{v}$p são perpendiculares entre si. Para a energia (2), temos:
\epsilon = $ {v^2 \over 2}$ - $ {\mu \over r}$ = $ {h^2 \over 2 r_p^2}$ - $ {\mu \over r_p}$ = $ {1 \over r_p}$$ \left(\vphantom{ {h^2 \over 2r_p} - \mu}\right.$$ {h^2 \over 2r_p}$ - $ \mu$ $ \left.\vphantom{ {h^2 \over 2r_p} - \mu}\right)$.

Por outro lado, da definição do semi-lactus rectum, temos

h^2=\mu p=\mu a(1-e^2)
Substituindo-se h e rp em $ \epsilon$, temos:

$ \epsilon$ = $ {1 \over a(1-e)}$$ \biggl[$$ {\mu\,a(1-e^2) \over 2a(1-e)}$ - $ \mu$$ \biggr]$ = $ {\mu \over a(1-e)}$$ \biggl[$$ {(1+e) \over 2}$ - 1$ \biggr]$,

pois (1 - e)(1 + e) = 1 - e2,

$ \epsilon$ = $ {\mu \over 2a}$$ \biggl[$$ {(1 +e -2) \over (1-e)}$$ \biggr]$ = - $ {\mu \over 2a}$$ {(1-e) \over (1-e)}$,

$\epsilon= - {\mu \over 2a}}$

que é válido para qualquer órbita cônica e mostra que o semi-eixo maior da órbita só depende da energia do sistema.
\epsilon < 0 \Rightarrow a > 0                                                               elipse   
\epsilon = 0 \Rightarrow a = \infty$                                                         parábola
\epsilon > 0 \Rightarrow a < 0                                                             hipérbole.

Da definição de semi-lactus rectum p,

p = $ {h^2 \over \mu}$ = a(1 - e2) $ \Rightarrow$ a = $ {h^2/\mu \over (1-e^2)}$.

Como a energia é definida por (8),

$ \epsilon$ = - $ {\mu \over 2a}$ = - $ {\mu^2(1-e^2) \over 2h^2}$.

Escrevendo a excentricidade em termos da energia:
-\frac{2h^2\epsilon}{\mu^2} = 1-e^2 \Rightarrow e^2 = 1+ \frac{2h^2\epsilon}{\mu^2}
e = $ \sqrt{1 + {2h^2\epsilon\over \mu^2}}$.

Logo, se:
$ \epsilon$ < 0 $ \Rightarrow$ e < 1$ \eqno$elipse
$ \epsilon$ = 0 $ \Rightarrow$ e = 1$ \eqno$parábola
$ \epsilon$ > 0 $ \Rightarrow$ e > 1$ \eqno$hipérbole.

Das equações (2) e (8), vemos que

$ \epsilon$ = - $ {\mu \over 2a}$ = $ {v^2 \over 2}$ - $ {\mu \over r}$,
logo
${v = \sqrt{\mu\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)}}$
que é a equação da velocidade do sistema.


Volta Astronomia e Astrofísica


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Modificada em 8 abril 2000