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Massa de Chandrasekhar

A massa máxima de uma anã branca [Subramanian Chandrasekhar (1910-1995), 1931, The Maximum Mass of Ideal White Dwarfs, Astrophysical Journal, 74, 81; Edmund Clifton Stoner (1899-1968) 1930, The equilibrium of white dwarfs, Phylosophical Magazine, ix, 944; Upper limits for densities and temperatures in stars, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 92, 662] é obtida calculando-se a pressão totalmente degenerada e totalmente relativística (v=c),
$P_e = 0,123 \frac{hc}{m_p^\frac{4}{3}}(\frac{Z}{A})^\frac{4}{3}$ (1.78)
e substituindo-se na equação de equilíbrio hidrostático, obtendo-se:
M_{Ch} = 0,2 (\frac{Z}{A})^2 (\frac{hc}{Gm_p^2})^{3/2}m_p = \frac{5,8348}{\mu_e^2}~M_\odot = 1,4587 (\frac{2}{\mu_e})^2 M_\odot} (1.79)
onde $ \mu_e$ é o peso molecular médio dos elétrons, e é igual a 2 para He, C, ou O totalmente ionizados.

O limite de massa de Chandrasekhar $ [=1,4587 ( {2 \over \mu_e})^2 M_\odot]$ é a massa máxima que uma anã branca pode ter e ainda ser suportada pela pressão de degenerescência dos elétrons; $ \mu_e=A/Z$ é o peso molecular médio ($ \mu_e=2$ para hélio, carbono ou oxigênio).

Tetsuo Hamada & Edwin Ernest Salpeter (1924-2008) (1961, Astrophysical Journal, 134, 683) publicaram correções devido às interações eletrostáticas entre os íons, os desvios de Thomas-Fermi da distribuição não uniforme das cargas dos elétrons e a energia de troca das interações spin-spin. Demonstraram que, em altas densidades, os decaimentos β inversos tornam-se importantes, e os elétrons tunelam para dentro dos núcleos, formando nêutrons, e mudando efetivamente o peso molecular médio dos elétrons. Quando a densidade do núcleo atinge um certo valor crítico, os elétrons começam a ser pressionados para dentro dos prótons, o que também define um processo de decaimento β inverso, criando nêutrons e neutrinos. A estrutura nuclear dentro do núcleo da anã branca muda. Quando as transições de fase se iniciam, uma parte do núcleo estelar é composto de núcleos pesados, mudando efetivamente o índice adiabático da estrela. Entretanto, ultrapassar esta densidade crítica, que leva às transições de fase, não é suficiente para causar a instabilidade, que requer ou uma grande diferença entre a densidade do núcleo da estrela e as camadas externas (William H. Ramsey, 1950, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 110, 444 15),

$\frac{\rho_2}{\rho_1}= \frac{A_2Z_1}{A_1Z_2} > 1,5$
ou uma cadeia de decaimentos β inversos entre elétrons e núcleos devido ao núcleo tornar-se cada vez mais denso. Isto leva a uma nova condição sobre a massa máxima, reduzindo-o como mostrado explicitamente nos modelos de temperatura zero de Hamada & Salpeter. A massa máxima para uma anã branca com núcleo de magnésio diminui para 1,35 M⊙ e 1,396 M⊙ para carbono. No mesmo artigo eles derivaram a relação empírica massa-raio das anãs brancas, para temperatura zero, isto é, desprezando a contribuição da energia térmica.

Outra componente que tem efeito sobre a massa máxima de uma anã branca é a Relatividade Geral. Inicialmente proposto por Samuil Aronovich Kaplan (1921-1978) em 1949 (Zhurnal Eksperimental noi i Teoreticheskoi Fiziki, 19, 951 16) e calculado precisamente em 1964 por Subrahmanyan Chandrasekhar (1910-1995) e Robert F. Tooper (Astrophysical Journal, 139, 1396) e Subrahmanyan Chandrasekhar (Astrophysical Journal, 140, 417 e errata), e precisamos utilizar a equação de equilíbrio hidrostático da relatividade geral. Este efeito quebra a estabilidade dinâmica a densidades mais baixas que aquelas calculadas para os modelos de temperatura zero, reduzindo a massa de Chandrasekhar para 98% da massa de Chandrasekhar sem correção relativística

$M_{Ch}^{RG} = 1,43 (\frac{2}{\mu_e})^2 M_\odot}$ (1.79a)
Note que como raio das anãs brancas, Rab≅ 10 000 km, é mais de mil vezes o raio de Schwarzschild de mesma massa, RSch≅3 km, os efeitos relativísticos são muito pequenos. O mesmo raciocínio mostra que para estrelas de nêutrons, com raios da ordem de 10 km, os efeitos relativísticos são importantes.

Michael Rotondo, Jorge A. Rueda, Remo Ruffini & She-Sheng Xue (2011, Relativistic Feynman-Metropolis-Teller theory for white dwarfs in general relativity, Physical Review D, 84, h4007), levam em conta a relatividade geral, o decaimento beta inverso (neutron drip) e o escudamento eletrônico dentro das células de Wigner-Seitz, para calcular a massa máxima para composições químicas diferentes, obtendo valores um pouco menores do que Hamada & Salpeter, 1,409 M⊙ para He, 1,386 M⊙ para C, 1,380 M⊙ para O, 1,106 M⊙ para Fe.

Arun Mathew e Malay K. Nandy (2014, General Relativistic Calculations for White Dwarf Stars, arXiv:1401.0819v3) calculam que a massa máxima para núcleos de C é 1,3916 M⊙, 1,3846 M⊙ para O816, 1,3702 M⊙ para Ne1020 e Fe é 1,157 M⊙. comparando a massa de neutronização com a massa de estabilidade, mas sem levar em conta a neutralidade na célula de Wigner-Seitz.

A anã branca de maior massa conhecida tem massa determinada entre 1,327 e 1,365 M⊙ (2021, Ilaria Caiazzo et al., Nature, 596, E15).

Várias anãs brancas são encontradas com massas abaixo de 0,50 M⊙; os modelos de evolução estelar indicam que estas estrelas não passaram pela fase luminosa (topo) do ramo gigante assintótico (AGB), fase de Mira e subseqüente fase de nebulosa planetária, mas sim tiveram perda de massa suficientemente alta para truncar sua evolução no início do AGB, ou ainda no ramo horizontal, onde há queima de hélio no núcleo. Uma razão para esta truncagem seria se a camada rica em hidrogênio próxima à superfície não tiver massa suficiente para manter ignição e reignição de queima de hidrogênio (shell flashes).

A composição química do núcleo das anãs brancas, que compõe 99,9% da massa das estrelas, nos modelos assumindo a seção de choque convencional da reação C(α,γ)O, é de