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Estrelas Binárias

Um grande número de estrelas está em sistemas binários e múltiplos A fração de binárias aumenta com a massa das estrelas (Gaspard Duchêne & Adam Kraus, 2013, Stellar Multiplicity, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 51, 269), passando de 27±1% para estrelas M (Jennifer G. Winters et al. 2019, Astronomical Journal, 157, 216), 41±2% para estrelas FGK e alcançando mais de 70% para estrelas tipo B e O (Hugues Sana et al. 2012, Binary interaction dominates the evolution of massive stars, Science 337, 444), com um modesta redução conforme a metalicidade aumenta (Haibo Yuan et al. 2014, Astrophysical Journal, 799; Cristine N. Mazzola et al. 2020, Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 449, 1607). A evolução das estrelas em sistemas múltiplos depende não somente da massa da estrela e sua composição química, mas também da separação entre elas. Se as estrelas estão separadas mais do que 10× o raio que terão quando supergigantes, suas evoluções são como as de estrelas não binárias. Para distâncias menores, existe interação entre as estrelas que afeta sua evolução.

Consideremos duas estrelas de massa M₁ e M₂ separadas por uma distância a orbitando o centro de massa do sistema. A solução geral do problema de três corpos é caótica, mas podemos calcular as soluções estáticas do sistema que mantém a separação entre os três corpos constante, chamados de Pontos de Lagrange [Joseph-Louis Lagrange=Giuseppe Lodovico Lagrangia (1736-1813)]. No sistema de referência em rotação com o sistema binário, o movimento de uma partícula de massa m é dado pela relação:

$$m\frac{d^2r}{dt^2} = \vec{F_1} + \vec{F_2} -m\vec{w} \times (\vec{w}\times \vec{r}) -2m (\vec{w} \times \frac{d\vec{r}}{dt})$$ (1.126)

onde $\vec{F_1}$ e $\vec{F_2}$ são as forças gravitacionais sobre m causadas pelas estrelas de massas $M_1$ e $M_2$, e os dois últimos termos na equação (1.126) representam a força centrífuga e a força de Coriolis [Gustav-Gaspard Coriolis (1792-1843)]. A origem do sistema em rotação é o centro de massa do sistema e $\vec{w}$ é a velocidade orbital angular do sistema, apontando na direção perpendicular ao plano da órbita, que definimos como eixo z. Estes termos precisam ser incluídos por que o sistema não é inercial.

A força centrífuga pode ser derivada do potencial

$V_c = -\frac{1}{2}mw^2(x^2 + y^2) = \frac{Gm(M_1+M_2)(x^2+y^2)}{2a^3}$

Como a força de Coriolis é perpendicular à direção de movimento, ela não pode realizar trabalho sobre a massa pontual m.

Se m está no plano (x,y), sua energia é dada por

$E = \frac{1}{2}m(\dot{x}^2 + \dot{y}^2) + V(x,y,0),$

e

$$V(x,y,0) = - \frac{GmM_1}{[(x-x_1^2)^2+y^2]^{1/2}} - \frac{GmM_2}{[(x-x_2^2)^2+y^2]^{1/2}} -$$

$$- \frac{Gm(M_1+M_2)(x^2+y^2)}{2a^3}$$

O potencial V(x,y,0) tem máximos em três pontos críticos no eixo x, e dois no eixo y. Esses pontos são chamados de pontos Lagrangianos. Como são pontos de máximos, podem ser calculados calculando-se dV/dx=0 e dV/dy=0. Seja R a distância entre o centro de massa e M₂

Para o sistema Terra-Sol, α≃3×10^-6, R=150 milhões de km, e os pontos L₁ e L₂ estão a aproximadamente 1,5 milhão de km da Terra.

Equipotenciais de um sistema binário de massas similares, mostrando os 5 pontos lagrangianos: L₁ a L₅. A equipotencial que passa por L₁ chama-se Lóbulo de Roche e, quando uma estrela se expande até essa equipotencial, transfere massa para a companheira.

O ponto Lagrangiano L₁, localizado no eixo x, entre as duas estrelas, é de particular importância porque se uma das estrelas se expande suficientemente tal que parte de sua superfície atinge o ponto L₁, ocorrerá transferência de massa entre as estrelas. A curva equipotencial que inclui o ponto L₁ é chamada de lóbulo de Roche [Edouard Roche (1820-1883)]. As equipotenciais próximas de M₁ e M₂ são quase esféricas em torno das estrelas individuais, enquanto que as equipotenciais externas ao lóbulo de Roche envolvem as duas estrelas.

Equipotenciais de um sistema binário de massas diferentes.

Os sistemas binários podem estar separados (detached), quando as duas estrelas estão dentro do seus lóbulos de Roche, preenchendo um lóbulo de Roche (semi-detached), com deformações de maré levando a variações elipsoidais na curva de luz, em contato, preenchendo os dois lóbulos de Roche, formando um envelope comum, quando há gás das duas estrelas fora dos seus lóbulos de Roche, ou perdendo matéria pelo L₂ (overflow) (Pablo Marchant, 2025, Evolution of binary stars).

Pela Terceira Lei de Kepler

Consideremos um sistema com duas estrelas de sequência principal, uma com M₁=1 M_⊙ e outro com 0,5 M_⊙. A soma dos raios das estrelas é R₁+R₂≃1,5 R_⊙. O período orbital mínimo, para as estrelas não colidirem, é P ≥ 4,08 h, assumindo uma órbita circular, como na equação acima. Entretanto, quando as duas estrelas estavam na pré-sequência principal, queimando deutério, a soma dos raios era R₁+R₂≃12 R_⊙, e o período orbital mínimo era P ≥ 4 dias. Depois de cerca de 10 G anos, a estrela de 1 M_⊙ crescerá em uma gigante vermelha e, antes do flash de hélio, terá aproximadamente R₁≃170 R_⊙, e sua massa terá reduzido para aproximadamente 0,8 M_⊙, com período orbital mínimo de P ≥ 200 dias. Embora a distribuição de períodos orbitais observados seja log-normal (log P tem distribuição normal), com períodos médios de 300 anos para estrelas tipo G e 1600 dias para estrelas tipo espectral M, alguns sistemas binários eclipsantes com duas estrelas de sequência principal têm períodos orbitais de somente 5 horas, o que indica que algum mecanismo reduziu seu período orbital desde quando elas eram estrelas de pré-sequência principal. Se uma estrela em um sistema binário preenche seu lóbulo de Roche devido à sua evolução, ela não pode mais permanecer em equilíbrio hidrostático, e há transferência de massa entre as componentes pelo ponto Lagrangiano L₁. Como exemplo, um modelo de 4 M_⊙ tem um raio na sequência principal R≃2,3 R_⊙, quando sai da sequência principal R≃6,4 R_⊙, na base do Ramo Gigante de R≃23 R_⊙ e R≃63 R_⊙ quando a queima do He se inicia. Este modelo tem um raio de R≃41 R_⊙ quando termina a queima do He e R≃280 R_⊙ quando chega ao topo do Ramo Gigante Assintótico. Betelgeuse, α Orionis, é uma supergigante vermelha M1-2 Ia-ab, com 14 M_⊙ e 887±203 R_⊙.

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Astronomia e Astrofísica