Condições de Contorno

Na nossas derivações até o momento, usamos as condições de contorno nulas, isto é $P(r=R)=0$. Os modelos reais utilizam uma condição um pouco mais realista, advinda dos modelos de atmosferas estelares.

• Atmosferas Estelares
• Envelope Radiativo
• Estrelas Completamente Convectivas

Atmosferas Estelares

Quando discutimos transporte radiativo, escrevemos a equação de transporte radiativo em um elemento com coeficiente de emissão j_ν:

$$\frac{dI_\nu}{ds} = -K_\nu I_\nu + j_\nu$$ (1)

onde ds é o elemento de distância (comprimento) com coeficiente de absorção K_ν, atravessado pelo feixe de luz de intensidade específica I_ν.

A profundidade ótica $\tau_\nu$ foi definida como

$$\tau_\nu = \int_o^s K_\nu ds'$$ (2)

de modo que $d\tau_\nu = K_\nu ds$.

A função fonte $S_\nu$ é definida pela equação

Em equilíbrio termodinâmico local (ETL),

$$\frac{dI}{ds} = 0 \longrightarrow I = \frac{j}{K}$$ (4)

e nenhuma radiação será transportada. Para simplificar, estamos neste momento tratando do caso integrado em freqüência e isotróprico. Como

$$E = \frac{1}{c}\int Id\omega = \frac {4\pi}{c}I$$ (5)

Mas sabemos que em equilíbrio termodinâmico local (ETL) $E=aT^4$, logo

$$I = \frac{j}{K} = \frac{c}{4\pi}aT^4 = \frac{\sigma}{\pi}T^4 = B(T)$$ (6)

isto é, em ETL a função fonte é dada pela função de Planck $B_\nu$. Se dividirmos a eq. (1) por $K_\nu$, podemos escrever

$$\frac{dI_\nu}{d\tau_\nu} = -I_\nu + S_\nu$$ (7)

ou

$$\frac{d(I_\nu e^{\tau_\nu})}{d\tau_\nu} = e^{\tau_\nu}S_\nu$$ (8)

que podemos integrar, obtendo

$$I_\nu(\tau_\nu) = I_\nu(0)e^{\tau_\nu} + \int_0^{\tau_\nu} e^{-(\tau_\nu-\tau_\nu')}S_\nu(\tau_\nu')d\tau_\nu'$$ (9)

Se a função fonte for independente da profundidade ótica,

$$I_\nu(\tau_\nu) = I_\nu(0)e^{-\tau_\nu} + S_\nu(1-e^{-\tau_\nu})$$ (10)

$$= S_\nu+e^{-\tau_\nu}[I_\nu(0)-S_\nu]$$ (11)

Se houver equilíbrio termodinâmico local, $I_\nu(0)$ e $S_\nu$ são iguais a $B_\nu(T_0)$ e $B_\nu(T)$, onde $T_0$ é a temperatura na camada onde $\tau=0$. Para $\tau\gg 1$, $I_\nu = B_\nu(T)$ e

$$I_\nu(\tau_\nu) = B_\nu(T_0)(1-\tau_\nu) +B_\nu(T)\tau_\nu$$ (12)

O fluxo através da superfície da estrela, integrado sobre todas as freqüências é dado por

$$F = 2\pi \int_0^\infty \cos\theta I_\nu {sen}\,\theta d\theta d\nu \equiv \sigma T_{ef}^4 = \frac{L}{4\pi R^2}$$ (13)

Substituindo $I_\nu = B_\nu(T)$, obtemos

$$F = \pi \int_0^\infty B_\nu(T)d\nu = \frac{ac}{4}T^4$$ (14)

Se considerarmos uma atmosfera plano-paralela e assumirmos que o coeficiente de absorção $K_\nu$ é independente da freqüência, podemos escrever a equação de transporte radiativo como:

$$-\cos\theta \frac{dI_\nu(\theta)}{d\tau} = -I_\nu(\theta) + \frac{j_\nu}{K}$$ (15)

onde $\theta$ é o ângulo entre a normal e a direção considerada. Integrando sobre freqüência,

$$-\cos\theta \frac{dI(\theta)}{d\tau} = -I + \frac{j}{K}$$ (16)

Integrando-se agora a eq. (16) sobre o ângulo sólido $d\omega=2\pi {sen}\,\theta s\theta$, e lembrando-se das nossas definições:

$$E = \frac{1}{c}\int I(\theta)d\omega$$ (17)

$$F = \int I(\theta)\cos\theta d\omega$$ (18)

e

$$P_r = \frac{1}{c}\int I(\theta)\cos^2\theta d\omega$$ (19)

podemos escrever

$$\frac{dF}{d\tau} = cE-\frac{4\pi j}{K}$$ (20)

Como em uma atmosfera estelar plana o fluxo é constante (define-se uma atmosfera plana justamente para não termos a variação de área de uma casca esférica), esta equação se reduz a

$$j=K\frac{cE}{4\pi}$$ (21)

Multiplicando-se a equação (16) por $\cos\theta$ e integrando-se sobre o ângulo sólido, obtemos

$$c\frac{dP_r}{d\tau} = F$$ (22)

e sua integral

$$cP_r=F\tau+{constante}$$ (23)

Se assumirmos que $I(\theta)$ pode ser aproximado como

$$I=I_1 \quad (0 < \theta < \frac{\pi}{2})$$ (24)

$$I=I_2 \quad (\frac{\pi}{2} < \theta < \pi)$$ (25)

isto é, o fluxo saindo da estrela é dado por $I_1$ e o fluxo entrando na estrela por $I_2$, podemos integrar as equações (17), (18) e (19) obtendo:

$$\frac{cE}{4\pi} = \frac{1}{2}(I_1+I_2)$$ (26)

$$\frac{F}{4\pi} = \frac{1}{4}(I_1-I_2)$$ (27)

e

$$P_r = \frac{1}{3}E$$ (28)

Tendo em vista que não existe entrada de radiação pela atmosfera, assumimos que $I_2=0$ para $\tau=0$. Logo $cE=2F$ em $\tau=0$ e a constante da equação (23) pode ser obtida:

Portanto podemos escrever a equação (23) como

$$cE=F(2+3\tau)$$ (29)

Sabemos que nas condições de equilíbrio termodinâmico local e assumindo $K_\nu$ independente da freqüência, a função fonte (eq. 3) é dada pela função de Planck, e podemos escrever

$$j_\nu = KB_\nu(T)$$ (30)

onde $B_\nu(T)$ é a função de Planck. Como

$$\frac{cE}{4\pi} = \frac{j}{K} = \int_o^\infty B_\nu(T) = \frac{\sigma T^4}{\pi}$$ (31)

podemos escrever eq. (29) como

$$\frac{\sigma T^4}{\pi} = \frac{F}{4\pi}(2+3\tau)$$ (32)

e como o fluxo $F$ é dado por

$$F\equiv \sigma T_{ef}^4$$ (33)

A eq. (32) pode ser escrita como:

$$T^4 = \frac{T_{ef}^4}{2}(1+\frac{3}{2}\tau)$$ (34)

demonstrando que a temperatura é igual à temperatura efetiva para $\tau=2/3$.

Da nossa definição de temperatura efetiva:

$$L = 4\pi R^2 \sigma T_{ef}^4$$ (35)

e $T=T_{ef}$ para uma profundidade ótica $\tau=2/3$, podemos usar a equação de equilíbrio hidrostático

$$\frac{dP}{dr} = - g_s \rho$$ (36)

e a definição de profundidade ótica $d\tau = -K\rho dr$ para escrever

$$\frac{dP}{d\tau} = \frac{g_s}{K}$$ (37)

e integrar

$$P_f = g_s\int_0^{\tau_f} \frac{1}{K}d\tau \simeq \frac{g_s}{K_f}{\tau_f}$$ (38)

e finalmente, substituindo $\tau_f = 2/3$ obter uma estimativa para a pressão na fotosfera de

$$P_f = \frac{2}{3}\frac{g_s}{K_f}$$ (39)

onde $K_f$ representa a opacidade na fotosfera. Esta é a pressão na fotosfera, isto é, na mesma camada com T=T_ef.

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Astronomia e Astrofísica