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Degenerescência dos Elétrons

Um gás degenerado é um gás quântico, isto é, que não pode ser tratado pela mecânica clássica. O Princípio da Incerteza de Werner Karl Heisenberg (1901-1976),

${\Delta p \times \Delta r \geq h}\quad {\Delta E \times \Delta t \geq \hbar}$
acoplado ao Princípio da Exclusão de Wolfgang Pauli (1900-1958), que diz que dois férmions não podem ocupar o mesmo estado quântico simultaneamente, força os elétrons a altos níveis de energia e, portanto, altas velocidades.
Matéria normal: $E_{térmica} = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{3}{2}kT$
Matéria degenerada: $v=\frac{h}{m\Delta r}$
Por exemplo, para um elétron com Δr=10-11m, v=73 mil km/s, enquanto que vtérmica (T=100 milhões K)= 68 mil km/s.
Fermi
Distribuição de energia de Fermi-Dirac para uma temperatura finita (linha pontilhada), e para temperatura zero (linha contínua). Para temperatura zero, equivalente a um gás totalmente degenerado, nenhuma partícula tem energia superior à energia de Fermi EF.
Lembrando que a energia de Fermi é diretamente ligada ao momentum devido ao Princípio da Incerteza, para um mesmo volume todos os férmions terão o mesmo momentum. Como a energia associada a este momentum p é dada por E=p2/2m, no caso não relativístico, onde m é a massa da partícula, os prótons e nêutrons, por terem massa cerca de 2 000 vezes maior do que a dos elétrons, têm energia de Fermi e velocidade 2 000 vezes menor e, portanto, precisam estar em um volume 2 000 vezes menor que para os elétrons, para estarem degenerados.

No interior dos planetas gigantes e estrelas evoluídas, os elétrons estão degenerados, mas os prótons e nêutrons não. Nas estrelas de nêutrons, com raio cerca de 1000 vezes menor que o das anãs brancas, os nêutrons estão degenerados, e as derivações a seguir se aplicam, substituindo-se elétrons por nêutrons.

Como os elétrons são partículas de spin semi-inteiro, um gás de elétrons obedece a estatística de Fermi-Dirac. A densidade de elétrons com momentum $\vert\vec{p}\vert=p$ no intervalo p e p+dp é dada pela equação (1.2):

n_e(p)dp = \frac{2}{h^3}4\pi p^2 dp P(p)
onde definimos o índice de ocupação para um gás de Fermi como
P(p)=[\exp(\frac{E-E_F}{kT})+1]^{-1}
O fato de P(p) ter valor máximo de um é uma expressão do Princípio de Exclusão de Pauli. Quando P(p) é unitário, todos os níveis de energia do gás estão ocupados. Portanto, a máxima densidade de elétrons, no espaço de fase, é
[n_e(p)]_{max} = \frac{2}{h^3}4\pi p^2 dp (1.10)
É esta restrição na densidade de elétrons no espaço de momentum que cria a pressão de degenerescência. Se aumentamos continuamente a densidade de elétrons, os elétrons são forçados a um estado de maior momentum e, portanto, maior pressão, simplesmente porque todos estados de momentum mais baixo já estão ocupados.

Para qualquer temperatura e densidade de elétrons ne, o valor da Energia de Fermi EF é determinado pela integral

n_e = \int_0^\infty n_e(p)dp = n_e(E_F,T)
Se a densidade for baixa, EF é um número grande e negativo, e P(p) será menor do que um para todas as energias, e a distribuição de Fermi-Dirac se reduz a uma distribuição Maxwelliana. Conforme a densidade for aumentando, para uma temperatura constante, a energia de Fermi se torna primeiro pequena, cruzando zero e chegando a grandes valores positivos, em altas densidades. Se a energia de Fermi for muito maior do que kT, a distribuição de momentum será uma função degrau, e chamamos este limite de degenerescência total.

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Volta Astronomia e Astrofísica

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